Qual è la differenza tra la trasformata wavelet di Gabor-Morlet e la trasformata Q costante?

A prima vista, la trasformata di Fourier a Q costante e la complessa trasformazione wavelet di Gabor-Morlet sembrano uguali. Entrambe sono rappresentazioni tempo-frequenza, basate su filtri a Q costante, sinusoidi con finestre, ecc. Ma forse c'è una differenza che mi manca?

Constant-Q Transform Toolbox for Music Processing dice:

CQT si riferisce a una rappresentazione tempo-frequenza in cui i bin di frequenza sono spaziati geometricamente e i fattori Q (rapporti tra le frequenze centrali e le larghezze di banda) di tutti i bin sono uguali.

L'analisi della scala temporale dice:

Vale a dire, calcolare il CWT di un segnale usando il wavlet Morlet equivale a passare il segnale attraverso una serie di filtri passa-banda centrati su con Q costante di . $f = \frac{5/2\pi}{a}$ $5/2\pi$

— endolith
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Risposte:

Semplicemente parlando sia la const-Q-trasformata che la trasformata wavelet di Gabor-Morlet sono solo trasformazioni wavelet continue. O, più precisamente, approssimazioni di ciò, poiché ci saranno sempre problemi di discretizzazione nelle applicazioni reali.

Una proprietà delle trasformazioni wavelet è che hanno incorporato la proprietà costante del fattore Q, o in altre parole il ridimensionamento logaritmico. Gabor e Morlet sono solo due nomi di una particolare funzione wavelet (esponenziali complessi con una finestra gaussiana) che viene usata più comunemente. La trasformazione CQ utilizza solo un'altra funzione base / wavelet e ha un nome speciale associato, probabilmente a una ragione storica.

— André Bergner
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È importante notare che le varie wavelet sviluppate offrono diverse decomposizioni dei segnali che vengono utilizzate per studiare. Le wavelet specifiche sono state scelte per rivelare specifiche caratteristiche del segnale in un modo particolare. Quando si calcolano i coefficienti wavelet, si esegue una correlazione del wavelet scelto con il segnale di interesse; quindi la forma dell'onda elastica determina la forma delle caratteristiche del segnale che vengono rivelate.

Alcune funzioni wavelet sono state "progettate" per fornire decomposizioni che possono essere correlate a decomposizioni di Fourier (in realtà più in linea con le decomposizioni di Fourier a breve termine utilizzate per produrre spettrogrammi di segnali). Il wavlet Morlet è un buon esempio di tale funzione wavelet. Altre wavelet sono state "progettate" per identificare discontinuità o bordi dei segnali. Ho visto documenti che usano le funzioni wevelet di Daubechies per questo.

Potrebbe essere utile fare qualche ricerca per vedere come ciascuna delle funzioni wavelet che hai citato vengono utilizzate nella pratica. Penso che questo ti darà una migliore comprensione di come le diverse wavelet differiscono.

— user2718
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La domanda riguarda in particolare solo il wavelet di Morlet, e come si collega alla trasformazione Q costante, che è anche un tipo di decomposizione di Fourier. C'è qualche differenza tra loro o sono reinventazioni della stessa cosa? Ho anche trovato l'algoritmo "Punto fisso per ottava (FPPO)" che "utilizza una finestra del tempo di misurazione che varia in funzione della frequenza, utilizzando una finestra di lunga durata a basse frequenze (per una risoluzione di frequenza ridotta) e una successiva più breve finestra temporale alle alte frequenze " rationalacoustics.com/files/FFT_Fundamentals.pdf

— endolith

Ho pubblicato un commento specifico sulla domanda. L'altro mio post aveva lo scopo di incoraggiare il poster a capire come le trasformazioni wavelet sono uniche e perché ha senso sviluppare trasformazioni basate su diverse funzioni wavelet.

— user2718

"C'è qualche differenza tra loro o sono reinventazioni della stessa cosa?" Sono diversi. Il fondamento dei metodi di Fourier si basa sulle funzioni del seno e non ha una risoluzione in scala temporale. Le versioni con finestra della trasformata di Fourier avvicinano ciò che viene fatto con le wavelet. Le trasformazioni wavelet si basano su funzioni di base supportate in modo compatto e la trasformazione è una rappresentazione tempo / scala anziché una rappresentazione tempo / frequenza. Alcune funzioni wavelet imitano i metodi di Fourier in base alla progettazione, ma questo non è un requisito.

— user2718

La trasformata Q costante non è una trasformazione wavelet. La trasformata Q costante è una variazione particolare della trasformata di Fourier a breve termine in cui i bin di frequenza sono spaziati esponenzialmente anziché spaziati linearmente, come nel caso della trasformata di Fourier discreta.

Vedi: http://en.wikipedia.org/wiki/Constant_Q_transform per i dettagli.

Alcune trasformazioni wavelet sono anche considerate trasformazioni Q costanti perché nelle versioni discrete delle trasformazioni, la scala dell'onda viene variata esponenzialmente (la base è 2 in questo caso). Secondo il seguente documento dell'Università di Stanford ( https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Continuous_Wavelet_Transform.html ):

Quando la wavelet madre può essere interpretata come una sinusoide finestrata (come la wavelet Morlet), la trasformazione wavelet può essere interpretata come una trasformata di Fourier a Q costante. 12.5 Prima della teoria delle wavelet, le trasformazioni di Fourier a Q costante (come quelle ottenute da un classico banco di filtri di terza ottava) non era facile da invertire, perché i segnali di base non erano ortogonali. Vedere l'appendice E per la discussione correlata.

— user2718
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"La costante trasformazione Q non è una trasformazione wavelet." Come mai?

— endolito il

Questo è probabilmente un po 'un problema di semantica, ma la "trasformata Q costante" si è sviluppata dalla trasformata di Fourier a breve termine, quindi nell'analisi non viene utilizzata alcuna funzione wavelet. È simile all'analisi wavelet in quanto i bin di frequenza sono spaziati esponenzialmente. Le trasformazioni wavelet non trattano specificamente la frequenza. Le trasformazioni wavelet si occupano solo di scala. La combinazione di scala e funzione wavelet può essere ricondotta alla frequenza, ma le due cose non sono uguali.

— user2718

Da quello che ho letto, l'onda di Gabor-Morlet è stata la prima trasformazione wavelet continua ed è stata focalizzata sulla frequenza, non sulla scala, poiché è stata derivata dalla trasformazione di Gabor, che è una trasformata di Fourier con finestre. Ignorando le differenze semantiche, c'è una differenza nel modo in cui vengono calcolati CQT e Morlet WT?

— endolito il

Quelli non sono matematicamente equivalenti, supponendo che la funzione finestra sia la stessa e che l'onda sia fatta da un esponenziale complesso?

— endolito il

Penso che tu possa organizzare una trasformata di Fourier con finestre equivalente a una trasformazione wavelet. Tipicamente nell'applicazione della trasformata Q costante, la funzione finestra non viene scelta per imporre le condizioni di ammissibilità richieste alle wavelet, quindi in generale la trasformata Q costante non è la stessa di una trasformata wavelet. Le condizioni di ammissibilità per le wavelet assicurano che l'analisi sia reversibile (vale a dire che è possibile ricostruire il segnale temporale dai risultati della trasformazione) che non è vero in generale per la costante trasformazione Q.

— user2718