Come può un filtro avere un ritardo di gruppo zero?

Se si inserisce un pacchetto wave nella banda passante di un filtro passa-basso del 1 ° ordine, verrà ritardato dal ritardo di gruppo del filtro e rimarrà della stessa ampiezza, giusto?

Se si inserisce lo stesso pacchetto d'onda attraverso un filtro passa-alto del 1 ° ordine complementare con la stessa frequenza di taglio, la curva di ritardo del gruppo è la stessa, quindi il ritardo del pacchetto sarà lo stesso, ma il guadagno è molto più basso, quindi sarà essere sia ritardato che attenuato alla trascurabilità.

Poiché l'uscita del filtro passa-alto è molto piccola, se si sommano le uscite di questi due filtri (come in un crossover audio), mi aspetto che sia trascurabilmente diverso dall'uscita del filtro passa-basso: grande segnale ritardato + molto piccolo segnale ritardato = grande segnale ritardato.

Tuttavia, se si sommano le risposte del filtro, l'ampiezza è 0 dB ovunque, e la fase è 0 ovunque, e quindi il ritardo del gruppo diventa 0, il che significherebbe che il pacchetto d'onda esce senza alcun ritardo e senza cambiamenti. Non capisco come sia possibile. I filtri non comportano sempre ritardi? Come può un filtro (che ha anche un ritardo di gruppo positivo) annullare il ritardo causato dall'altro canale, specialmente quando ciò accade nella banda di arresto?

Quale parte sto fraintendendo qui?

I tipi di crossover più noti con fase lineare sono crossover non invertiti di primo ordine, ... Il crossover di primo ordine è la fase minima quando le sue uscite sono sommate normalmente; ha un diagramma di fase piatta a 0 °. - La progettazione di crossover attivi

e

Qui il risultato della somma delle uscite produce uno sfasamento di 0 °, vale a dire che l'ampiezza e lo sfasamento sommati di un crossover di primo ordine sono equivalenti a un pezzo di filo. - Linkwitz-Riley Crossovers: A Primer: reti di crossover di primo ordine

Il test sugli impulsi effettivi mostra come il passa basso (blu) ritarda l'impulso, come previsto, e come il passa alto (verde) può combinarsi con esso per produrre l'impulso originale (rosso), ma come si verifica l'impulso passa alto prima dell'originale se il il filtro passa-alto è causale e ha un ritardo di gruppo positivo? L'intuizione mi sta fallendo.

Si fa mostrano che l'uscita passa-alto non è trascurabile come immaginavo, e il ritardo è più trascurabile quanto immaginassi, e come si sposta la frequenza portante intorno, queste due proprietà cambiate in modo proporzionale (piccolo ritardo richiede uscita inferiore ampiezza highpass per correggerlo). Ma ancora non lo capisco davvero.

Ci sono un paio di aspetti interessanti di "ricostruzione all'unità". Innanzitutto, ci sono due modi per combinare due filtri: parallelo e in serie. Per una topologia parallela è SEMPRE possibile trovare un filtro gratuito in modo che le coppie si aggiungano all'unità. È abbastanza facile, in realtà. Basta fare $\tilde{H}(\omega) = 1-H(\omega)$. Nel dominio del tempo ciò significa che la risposta all'impulso del filtro complementare è semplicemente il negativo della risposta all'impulso originale con 1 aggiunto al primo campione. Quindi tutta la roba "ringy" si cancella. Ora la forma di questo filtro gratuito non è sempre quella che ci si aspetterebbe. Per un passa basso del 1 ° ordine in realtà è un passaggio alto del primo ordine ma per filtri di ordine superiore tende ad avere oscillazioni sopra / sotto nella regione di taglio. Tuttavia, esiste sempre come filtro causale stabile.

La "ricostruzione in unità" di serie (o cascata) è un po 'più complicata. Ovviamente i filtri dovrebbero essere inversi l'uno dall'altro, ovvero . In generale ciò può essere fatto per qualsiasi filtro di fase minima. Anche l'inverso di un filtro di fase minima è la fase minima ed entrambi sono causali e stabili.$\tilde{H}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$

Quindi questo ci lascia con la domanda su come interpretare il ritardo di gruppo in questi casi. Il caso a cascata è in realtà il più interessante. Poiché i filtri sono inversi l'uno dall'altro, la fase, e quindi il ritardo di gruppo, dell'uno è il negativo dell'altro. Quindi alle frequenze dove un filtro ha un ritardo di gruppo positivo, l'altro ha un ritardo di gruppo negativo. Un semplice esempio potrebbe essere uno scaffale basso con + 6dB di guadagno e uno scaffale basso con 6dB di taglio. Quindi i ritardi di gruppo negativi sono molto reali e certamente non rappresentano una violazione della causalità. In pratica, questi si presentano in aree del filtro che sono abbastanza "non piatte", quindi la tradizionale interpretazione di "ritardo dell'inviluppo" non si applica del tutto poiché esiste anche una discreta distorsione di ampiezza.

Se il tuo "ritardo di gruppo negativo" di Google, puoi trovare alcuni articoli IEEE che hanno affrontato l'argomento.

Non vi è alcuna errata applicazione del ritardo di gruppo né una violazione della fisica o della causalità in questo problema. La definizione di ritardo di gruppo come derivata negativa della fase rispetto alla frequenza è ancora valida, in quanto ciascun filtro da solo ha un ritardo positivo che non è costante sulla frequenza. I dettagli sono rivelati in ciò che accade quando i filtri sono collegati in parallelo o in serie.

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$A_1 e^{j\phi_1}$$A_1(\omega)e^{j\phi_1(\omega)}$

Considera il primo caso alla luce della domanda del PO. Alla croce sopra ogni filtro ha una grandezza e una fase data come:

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

E alla massima frequenza ogni filtro ha una grandezza e una fase indicate come:

$\rightarrow \infty$$1e^{j0}$

$\rightarrow \infty$$0e^{-j\pi}$

$-\pi$$\infty$

Ciò che accade nel mezzo richiede una speciale relazione matematica tra i due filtri affinché la combinazione parallela si sommi a una fase zero (e quindi ritardo di gruppo zero, rendendo sostanzialmente trasparente anche la combinazione parallela). Considera l'esempio del PO in cui possiamo vedere chiaramente che esiste una relazione di quadratura nella fase dei due filtri. Quindi abbiamo:

Affinché questo risultato abbia sempre la fase zero per tutte le frequenze, deve essere valida la seguente uguaglianza:

O in alternativa descritto come:

$\phi_1$$A_1 = cos(\phi_1)$$A_2 = sin(\phi_1)$$\phi_1$

Per quanto riguarda un'eventuale intuizione con il diagramma finale che l'OP ha mostrato e la sua domanda, considera che la derivata è una funzione passa-alto - se prendessi la derivata dell'impulso rosso otterrai di conseguenza l'impulso verde. Non è possibile iniziare a ottenere questo risultato fino a quando non è presente l'impulso rosso, quindi non vi è alcuna violazione della causalità.

Ho pensato che fosse una domanda piuttosto interessante, quindi cercherò di rispondere, anche se con 5 anni di ritardo.

Penso che tu abbia scoperto un modo di applicare erroneamente uno dei modi per misurare il ritardo di gruppo, vale a dire calcolandolo come derivata negativa della fase. In questa situazione, questo metodo non è appropriato.

In questa situazione, un modo più appropriato per misurare il ritardo di gruppo è utilizzare un ingresso sinusoidale e misurare il ritardo tra l'ingresso e l'uscita sommata. Certo, per avere un quadro completo dovrai fare una scansione di frequenza, che è una seccatura, ma accurata.

Se lo fai, penso che possiamo essere tutti d'accordo sul fatto che misurerai un ritardo di gruppo diverso da zero.

Il ritardo di gruppo è correlato al segnale di gruppo cioè modulato, pertanto la misurazione del ritardo di gruppo deve essere effettuata utilizzando il gruppo (segnale modulato). Il gruppo che entra nel filtro dovrebbe essere lo stesso rispetto alla sua forma all'uscita del filtro. La forma indica ad esempio lo spettro del gruppo. Le misurazioni effettuate a una singola frequenza non forniscono informazioni sul ritardo del gruppo.