Come derivare il predittore di filtri Kalman stazionario?

Nel suo capitolo sui filtri Kalman, il mio libro DSP afferma, apparentemente all'improvviso, che il filtro Kalman stazionario per un sistema

{\begin{cases} X (t + 1) & = UN X (t) + w (t) \\ y (t) & = C X (t) + v (t) \end{cases}

$\begin{cases} x(t+1) &= Ax(t) + w(t) \\ y(t) &= Cx(t) + v(t) \end{cases}$

ha il predittore

\hat{X} (t + 1 | t) = (UN - UN \bar{K} C) \hat{X} (t | t - 1) + UN \bar{K} y (t)

$\hat{x}(t+1|t) = (A-A\bar{K}C)\hat{x}(t|t-1) + A\bar{K}y(t)$

covarianza vettoriale statale e guadagno di Kalman

\bar{P} = UN \bar{P} {UN}^{T} - UN \bar{P} C^{T} (C \bar{P} C^{T} + R)^{- 1} C \bar{P} {UN}^{T} + Q

$\bar{P} = A\bar{P}A^T - A\bar{P}C^T ( C\bar{P}C^T + R )^{-1}C\bar{P}A^T + Q$

\bar{K} = \bar{P} C^{T} (C \bar{P} C^{T} + R)^{- 1}

$\bar{K} = \bar{P}C^T(C\bar{P}C^T+R)^{-1}$

dove e indicano rispettivamente le covarianze del rumore di ingresso e del rumore di misura . $Q$ $R$ $w$ $v$

Non riesco a vedere come arrivare a questo dal predittore di varianza minima. Qualcuno potrebbe spiegarmelo o indicarmi una risorsa che deriva l'espressione? Questo è il filtro varianza minima variante del tempo, che posso derivare:

\hat{X} (t + 1 | t) = (UN - K (t) C) \hat{X} (t | t - 1) + K (t) y (t)

$\hat{x}(t+1|t) = (A-K(t)C)\hat{x}(t|t-1) + K(t)y(t)$

P (t + 1 | t) = UN (P (t | t - 1) - P (t | t - 1) C^{T} (C P (t | t - 1) C^{T} + R)^{- 1} C P (t | t - 1)) {UN}^{T} + Q

$P(t+1|t) = A\left(P(t|t-1)-P(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T + R)^{-1}CP(t|t-1)\right)A^T+Q$

K (t) = UN P (t | t - 1) C^{T} (C P (t | t - 1) C^{T} + R)^{- 1}

$K(t) = AP(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T+R)^{-1}$

Non sono sicuro di come passare da qui al filtro fisso qui sopra.

Aggiornamento: Riesco a vedere che sostituendo e nel filtro della variante temporale si traduce in il filtro stazionario, ma perché moltiplicare con ? Questo è solo un sintomo di una sfortunata scelta di notazione, nel senso che o non indicano realmente il guadagno di Kalman? $\bar{P} = P(t+1|t) = P(t|t-1)$ $K(t)=A\bar{K}$ $A$ $K$ $\bar{K}$

kalman-filters

— Andreas
fonte

No, non è possibile "vedere" il predittore dalle equazioni del sistema. Penso che sarebbe meglio se leggessi un libro di testo sui filtri di Kalman invece di chiederci di ricavarlo per te (che sarebbe solo rigurgitare qualcosa da un libro di testo). Il filtro ottimale di Anderson e Moore potrebbe essere un buon punto di partenza. È derivato nel capitolo 5, se ricordo bene.

— Lorem Ipsum,

@yoda: grazie. La mia domanda era se qualcuno potesse indicarmi una risorsa migliore rispetto al libro di testo che il mio corso raccomanda, quindi questa è una risposta.

— Andreas,

@yoda: A proposito, nel caso non fossi chiaro: non sto chiedendo una derivazione dal sistema spazio-statale, ma dalla varianza minima del filtro Kalman. Ho aggiornato la domanda per chiarire che posso derivare un filtro Kalman invariante nel tempo, non solo quello fisso.

— Andreas,

Da quale testo stai ricevendo quanto sopra? Se qualcuno ha accesso ad esso, può essere utile in modo che possiamo vedere l'intero contesto.

— Jason R,

Le tue derivazioni sono corrette.

$\bar P = P(t|t-1)$ $K(t) = A \bar K$

È questa la tua confusione:

$t|t-1$
Come può essere "stazionario" quando la tua derivazione mostra che varia nel tempo?

Cattiva scelta della notazione sul libro parte

$\bar P = A\bar PA^T - A\bar P C^T(C\bar P C^T + R)^{-1}C\bar PA^T + Q$ $\bar P$

Incomprensione della parola "stazionario".

$P$ $K$ $\bar P$ $\bar K$

Valori precedenti di se stessi
$A$ $C$ $A$ $C$
$Q$ $R$

$K$ $P$ $y$

Conclusione:

Le equazioni "varianti del tempo" che hai derivato erano equivalenti a quelle del libro. Inoltre, le differenze notazionali, c'è stata una leggera incomprensione da parte tua riguardo a ciò che cambia e cosa no.

— ssk08
fonte

Non ricordo quale sia stato il problema quando ho posto la domanda, ma ora ha senso. Grazie!

— Andreas,

Non lo capisco del tutto. Come sarebbero allora le equazioni per un filtro Kalman non stazionario?

— Sandu Ursu,