Perché l'aggiunta di una versione ritardata di un segnale a se stessa crea un segnale filtrato?

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Mi è stata posta questa domanda e non sono riuscito a trovare una risposta sul posto che non coinvolgesse il dominio della frequenza (fondamentalmente che i coefficienti della sequenza di ritardo sono la risposta all'impulso di un filtro FIR).

Qualcuno ha qualche intuizione che rende questo processo "ovvio"?

filters

— Tom Kealy
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Quando ritardi un segnale di secondi e lo aggiungi al segnale stesso, annulli o annulli il componente del segnale alla frequenza Hz poiché quel componente del segnale avrà cambiato fase esattamente di : $T$ $\frac{1}{2T}$ $\pi$

\begin{aligned} \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} (t - T) + θ) & = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ - π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \cos (π) \\ - \cos (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \sin (π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - 0 \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$ Una cosa simile accade anche a multipli dispari di Hz. Per le frequenze vicine, la cancellazione non è così completa e, naturalmente, anche a multipli di Hz, la componente del segnale viene raddoppiata in valore anziché essere cancellata. Allo stesso modo, se il segnale ritardato viene ridotto in ampiezza, la cancellazione non è completa a Hz ecc.

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Per riassumere, il segnale viene filtrato perché vengono passate diverse frequenze con guadagni diversi.

Se vuoi la spiegazione del dominio della frequenza, la funzione di trasferimento del sistema è la trasformata di Fourier di ciò che la risposta di Matt ha dato come risposta all'impulso, vale a dire. che è una funzione non costante di (in effetti, varia sinusoidalmente da un massimo di a un minimo di come discusso sopra), e quindi non è un multiplo scalare di . Filtraggio! $H(f)$

F [δ (t) + δ (t - T)] = 1 + \exp (- j 2 π f T)

$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$

f

$f$

| H (f) |

$|H(f)|$

2

$2$

0

$0$

Y (f) = H (f) X (f)

$Y(f)=H(f)X(f)$

X (f)

$X(f)$

— Dilip Sarwate
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Ci scusiamo per il ritardo: come potrei passare da qui (che il filtro è interferenza) alla necessità che il filtro sia una convoluzione dei due segnali? Posso vederlo (algebricamente) dalla somma di due formule di coseni, ma non riesco a capire il motivo.

— Tom Kealy,

Spiega cosa intendi per "filtrare è interferenza". Non capisco affatto questa nozione

— Dilip Sarwate,

Bene, abbiamo appena stabilito (o abbiamo?) Che l'aggiunta di due segnali insieme a fasi diverse equivale a filtrare con un ritardo perché le onde interferiscono. Come andrei (nel dominio del tempo) da lì alla convoluzione?

— Tom Kealy,

Ancora non capisco la domanda. è l' output di un filtro con risposta all'impulso cui input risulta essere , come è stato sottolineato nella risposta di Matt. Se si desidera scrivere l'output come convoluzione, è possibile scrivere dove, quando valuti gli integrali usando la proprietà setacciatrice degli impulsi, ottieni che già conoscevi.

x (t) + x (t - T) = y (t)

$x(t)+x(t-T) = y(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t)+\delta(t-T)$

x (t)

$x(t)$

y (t) = x ⋆ h = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) h (u) d u = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) [δ (u) + δ (u - T)] d u

$y(t) = x\star h = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)h(u)\,du = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)[\delta(u)+\delta(u-T)]\,du$

x (t) + x (t - T)

$x(t)+x(t-T)$

— Dilip Sarwate,

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Se si definisce il filtro (invariante nel tempo lineare) come convoluzione, la risposta è ovvia: la somma di un segnale e una sua versione ritardata possono essere scritte come una convoluzione con una risposta all'impulso : dove è il ritardo tra le due versioni del segnale. $h(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$

T

$T$

— Matt L.
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Se il ritardo della versione aggiunta ritardata di un segnale è esattamente un ciclo di qualsiasi contenuto periodico, l'output verrà aumentato ulteriormente. Se il ritardo è esattamente la metà del periodo di qualsiasi componente sinusoidale, allora quel componente interferirà distruttivamente e quindi sarà azzerato dall'uscita. Se il ritardo è zero, il segnale sarà raddoppiato. Per le combinazioni frequenza / fase che si trovano tra un'interferenza distruttiva completa o un'aggiunta completa, anche il risultato additivo sarà compreso tra.

L'aumento e la riduzione dell'output in base al contenuto in frequenza dell'ingresso è un filtro tipico.

— hotpaw2
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