Filtro FIR con fase lineare, 4 tipi

So che ci sono 4 tipi di filtri FIR con fase lineare, ovvero ritardo di gruppo costante: (M = lunghezza della risposta all'impulso)

1. Risposta all'impulso simmetrica, M = dispari

2. Imp. resp. simmetrico, M = pari

3. Imp. resp. antisimmetrico, M = dispari

4. Imp. resp. antisimmetrico, M = pari

ognuno con i suoi tratti. Quale di questi tipi è più comunemente usato nel filtro FIR con design a fase lineare e perché? :)

Quando si sceglie uno di questi 4 tipi di filtri di fase lineari ci sono principalmente 3 cose da considerare:

1. vincoli sugli zeri di in z = 1 e z = - $H(z)$$z=1$$z=-1$

2. ritardo gruppo intero / non intero

3. sfasamento (a parte la fase lineare)

Per i filtri di tipo I (numero dispari di tocchi, anche simmetria) non ci sono vincoli sugli zeri in e z = - 1 , lo sfasamento è zero (a parte la fase lineare) e il ritardo del gruppo è un numero intero valore.$z=1$$z=-1$

I filtri di tipo II (numero pari di tocchi, persino simmetria) hanno sempre uno zero in (cioè metà della frequenza di campionamento), hanno uno sfasamento zero e hanno un ritardo di gruppo non intero.$z=-1$

I filtri di tipo III (numero dispari di tocchi, simmetria dispari) hanno sempre zeri a e z = - 1 (cioè a f = 0 e f = f s / 2 ), hanno uno sfasamento di 90 gradi e un numero intero ritardo di gruppo.$z=1$$z=-1$$f=0$$f=f_s/2$

I filtri di tipo IV (numero pari di tocchi, simmetria dispari) hanno sempre uno zero a , uno sfasamento di 90 gradi e un ritardo di gruppo non intero.$z=1$

Ciò implica (tra le altre cose) quanto segue:

• I filtri di tipo I sono piuttosto universali, ma non possono essere utilizzati ogniqualvolta sia necessario uno sfasamento di 90 gradi, ad es. Per differenziatori o trasformatori Hilbert.

• I filtri di tipo II non vengono normalmente utilizzati per i filtri passa-alto o di arresto di banda, a causa dello zero in , ovvero in f = f s / 2 . Né possono essere utilizzati per applicazioni in cui è necessario uno sfasamento di 90 gradi.$z=-1$$f=f_s/2$

• I filtri di tipo III non possono essere utilizzati per i filtri selettivi di frequenza standard poiché in questi casi lo sfasamento di 90 gradi è generalmente indesiderabile. Per i trasformatori Hilbert, i filtri di tipo III hanno un'approssimazione di magnitudo relativamente bassa a frequenze molto basse e molto alte a causa degli zeri a e z = - 1 . D'altra parte, un trasformatore Hilbert di tipo III può essere implementato in modo più efficiente rispetto a un trasformatore Hilbert di tipo IV perché in questo caso ogni altro rubinetto è zero.$z=1$$z=-1$

• I filtri di tipo IV non possono essere utilizzati per i filtri selettivi di frequenza standard, per gli stessi motivi dei filtri di tipo III. Sono adatti per differenziatori e trasformatori di Hilbert e la loro approssimazione di magnitudo è generalmente migliore perché, a differenza dei filtri di tipo III, non hanno zero in .$z=-1$

• In alcune applicazioni è desiderabile un ritardo di gruppo intero. In questi casi sono preferiti i filtri di tipo I o di tipo III.

I filtri con risposta all'impulso anti-simmetrica hanno tutti uno zero in (cioè frequenza 0). Quindi, se hai bisogno di implementare un filtro passa-alto o un filtro di tipo derivato (o anche un passa-banda), devi scegliere i tipi 3 e 4.$z=1$

Allo stesso modo, se il filtro è di tipo passa basso, si applicano i tipi 1 e 2.

Quindi, questo dipende dal tipo di filtro che devi progettare e non da quale è più comune.

Quindi, c'è anche una differenza tra i tipi 1 e 3 rispetto a 2 e 4 in termini di risposta di fase. Ci sarà un ulteriore tra i due tipi. Anche se non ti interessa il ritardo effettivo introdotto, questa differenza di mezzo campione può essere importante in termini di convergenza in alcuni casi di filtri passa-alto (la fase aggiuntiva può rendere la risposta in frequenza continua a θ = π , fornendo quindi convergenza molto più rapida e necessità di un minor numero di coefficienti).$e^{j\theta/2}$$\theta = \pi$

In termini di implementazione, tutti e 4 i tipi possono essere implementati in modo efficiente senza ripetere gli stessi coefficienti due volte.

Hai ovviamente bisogno di tutta la linea di ritardo di taglia M. Invece di moltiplicare ciascuno degli output del tap per il suo coefficiente, prima aggiungi (o sottrai) i due output corrispondenti e quindi moltiplichi una sola volta per il coefficiente.

$h[n] = a \delta[n] + b \delta[n-1] + a \delta[n-2]$$y[n] = a x[n] + b x[n-1] + a x[n-2]$$y[n] = a (x[n] + x[n-2]) + b x[n-1]$

Dal momento che ci sono già due risposte molto valide, fornirò alcuni esempi di base dai quali è possibile verificare la sanità mentale delle proprietà fornite nelle altre risposte. Le posizioni zero e le risposte di fase sono direttamente disponibili.

simmetrico, M = dispari

$H(z) = 1\pm2z^{-1}+z^{-2} = (1\pm z^{-1})^2 \\ H(e^{j\omega}) = (1\pm e^{-j\omega})^2 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2}))^2 = e^{-j\omega}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2})^2 = 4e^{-j\omega}\cos^2(\omega/2) \quad or \quad -4e^{-j\omega}\sin^2(\omega/2) = 4e^{-j(\omega-\pi)}\sin^2(\omega/2)$

$H(z) = 1+z^{-2} = (1 + jz^{-1})(1 - jz^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j2\omega}) = e^{-j\omega}(e^{j\omega} + e^{-j\omega}) = 2e^{-j\omega}\cos(\omega)$

simmetrico, M = pari

$H(z) = 1 + z^{-1}\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}) = 2e^{-j\omega/2}\cos(\omega/2)$

$H(z) = 1 + z^{-3} \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j3\omega}) = e^{-j3\omega/2}(e^{j3\omega/2} + e^{-j3\omega/2}) = 2e^{-j3\omega/2}\cos(3\omega/2)$

$H(z) = 1 + 3z^{-1} + 3z^{-2} + z^{-3} = (1 + z^{-1})^3 = (1-e^{-2\pi/3}z^{-1})(1-e^{2\pi/3}z^{-1})(1+z^{-1})\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega})^3 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}))^3 = 8e^{-j3\omega/2}\cos(\omega/2)^3$

antisymmetrical, M=odd (according to [1], $h[N/2] = 0$ for this case)

$H(z) = 1 - z^{-2} = (1 + z^{-1})(1 - z^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = 1 - e^{-j2\omega} = e^{-j\omega}(e^{j\omega} - e^{-j\omega}) = 2je^{-j\omega}\sin(\omega)=2e^{-j(\omega-\pi/2)}\sin(\omega)$

antisymmetrical, M=even

$H(z) = 1 - z^{-1} \\ H(e^{j\omega}) = (1 - e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} - e^{-j\omega/2}) = 2je^{-j\omega/2}\sin(\omega/2)$

[1] a good reference mitrappt