Come trovare stime uniformi della derivata e della seconda derivata di un segnale?

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Ho un segnale campionato a : dove . Voglio trovare la prima e la seconda derivata del segnale: e . $\Delta t$ $f_i(t_i=i\Delta t)$ $i = 0,\ldots,n-1$ $f'(t)$ $f''(t)$

Il mio primo pensiero è stato quello di stimare i derivati in base alle differenze centrali:

\begin{aligned} f^{'} (t_{io}) & = \frac{f (t_{io + 1}) - f (t_{io - 1})}{2 Δ t} \\ f^{"} (t_{io}) & = \frac{f (t_{io + 1}) - 2 f (t_{io}) + f (t_{io - 1})}{(Δ t)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} f'(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-f(t_{i-1})}{2\Delta t}\\ f''(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-2f(t_{i})+f(t_{i-1})}{(\Delta t)^2} \end{align}$

Tuttavia, il segnale può avere un sacco di rumore ad alta frequenza che può causare fluttuazioni rapide in e . $f'$ $f''$

Quale sarebbe il modo migliore per trovare stime "uniformi" di e ? $f'$ $f''$

filters smoothing

— Andy
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Probabilmente dipende di più dai tuoi dati. Basta sapere, poiché la differenziazione è un'operazione lineare, se si sceglie un filtro lineare per smussare f 'e f' ', equivale a levigare f usando lo stesso filtro, quindi prendere i suoi derivati.

$y(n) = a \cdot x(n) + (1-a) \cdot y(n-1)$ o un filtro Hann, che sta semplicemente contorcendo il segnale con una finestra Hann. L'opzione filtro Hann è piacevole perché è in fase lineare. Se conosci la gamma di frequenza che ti interessa, puoi semplicemente progettare un filtro passa-basso adatto nel dominio della frequenza.

— Schnarf
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Grazie schnarf! Quindi, poiché il livellamento seguito dalla differenziazione è uguale alla differenziazione seguita dal livellamento; Potrei anche attenuare il segnale originale contorcendomi, ad esempio, con la finestra di Hann? Che ne dite dell'approccio più semplice di usare una differenza finita su un arco maggiore: f '(t) ~ = [f (t + 10 * Dt) -f (t-10 * Dt)] / (20 * Dt), sarebbe questo dare una stima abbastanza buona di un derivato levigato?

— Andy,

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Il filtro Savitzky-Golay fornisce stime fluide del segnale e dei primi derivati.

Un'implementazione MATLAB è disponibile qui .

— eglaser
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