Di quanti adesivi ho bisogno per completare il mio album FIFA Panini?

Sto giocando al FIFA Panini Online Sticker Album , che è un adattamento di Internet dei classici album Panini che vengono solitamente pubblicati per la coppa del mondo di calcio, il campionato europeo e forse altri tornei.

L'album ha segnaposto per 424 adesivi diversi. Lo scopo del gioco è quello di raccogliere tutti i 424. Gli adesivi sono disponibili in confezioni da 5, che possono essere ottenuti tramite codici trovati online (o, nel caso del classico album stampato, acquistati presso l'edicola locale).

Faccio le seguenti ipotesi:

Tutti gli adesivi sono pubblicati nella stessa quantità.
Un pacchetto di adesivi non contiene duplicati.

Come posso sapere quanti pacchi di adesivi devo acquisire per essere ragionevolmente sicuro (diciamo il 90%) di avere tutti i 424 adesivi unici?

probability coupon-collector-problem

— Vidar S. Ramdal
fonte

È possibile ottenere una serie di approfondimenti dalla lettura di altre domande relative al problema del coupon-collector .

— Glen_b

Hai bisogno di 700 pacchetti; la possibilità di acquisire tutti i 424 adesivi equivale quindi al 90,0024%. 761 sono necessari per portare la possibilità al 95% e 898 per una possibilità del 99%. (In media, sono necessari quasi 560 pacchetti per completare il set. È improbabile (meno di una volta ogni mille) che sarebbero necessari meno di 352).

— whuber

Non sono sicuro che la prima ipotesi possa essere fatta. Gli "Shinies" tendono ad essere più rari.

— James,

Hmm, da quanto ho potuto leggere dal documento pubblicato da Asuranceturix, hanno dimostrato che non vi era alcuna differenza significativa.

— Vidar S. Ramdal,

@ VidarS.Ramdal Sono corretto.

— James,

Risposte:

Questo è un bellissimo problema del collezionista di coupon, con un piccolo tocco introdotto dal fatto che gli adesivi sono disponibili in confezioni da 5.

Se gli adesivi sono stati acquistati singolarmente, i risultati sono noti, come puoi vedere qui .

Tutte le stime per un limite superiore del 90% per gli adesivi acquistati singolarmente sono anche limiti superiori per il problema con un pacchetto di 5, ma un limite superiore meno vicino.

Penso che ottenere un limite superiore di probabilità del 90% migliore, usando il pacchetto di 5 dipendenze, diventerebbe molto più difficile e non ti darebbe un risultato molto migliore.

Quindi, usando la stima della coda con e , otterrai una buona risposta. $P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$ $n=424$ $n^{-\beta+1} = 0.1$

MODIFICA :

L'articolo "Il problema del collezionista con i disegni di gruppo" (Wolfgang Stadje), un riferimento all'articolo portato da Assuranceturix, presenta una soluzione analitica esatta per il problema del collezionista di coupon con "pacchetti di adesivi".

Prima di scrivere il teorema, alcune definizioni di notazione: sarebbe l'insieme di tutti i possibili adesivi, . sarebbe il sottoinsieme che ti interessa (nell'OP, ) e . Disegneremo, con la sostituzione, sottoinsiemi casuali di adesivi diversi. sarà il numero di elementi di che compaiono in almeno uno di quei sottoinsiemi. $S$ $s = |S|$ $A \subset S$ $A = S$ $l = |A|$ $k$ $m$ $X_{k}(A)$ $A$

Il teorema dice che:

P (X_{k} (A) = n) = (\binom{l}{n}) \sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) [(\binom{s + n - l - j}{m}) / (\binom{s}{m})]^{k}

$P(X_{k}(A) = n) = {l \choose n} \sum_{j=0}^{n}(-1)^j {n \choose j}[{s+n-l-j \choose m}/{s \choose m}]^k$

Quindi, per l'OP abbiamo e . Ho fatto alcuni tentativi con valori di vicini alla stima per il problema del collezionista di coupon classico (729 pacchi) e ho avuto una probabilità del 90,02% per k uguale a 700 . $l=s=n=424$ $m=5$ $k$

Quindi non era così lontano dal limite superiore :)

— Jundiaius
fonte

E questa buona risposta sarebbe?

— Ziggystar,

Circa 3642 adesivi casuali. Quindi il limite superiore per il "pacchetto di 5 problemi" sarebbe qualcosa di meno di 729 pacchetti.

— Jundiaius il

L'altro giorno mi sono imbattuto in un documento che affronta una domanda strettamente correlata:

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

Se l'ho capito correttamente, il numero previsto di pacchetti che dovresti acquistare sarebbe:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

Tuttavia, come sottolineato da eqperes nei commenti, la domanda specifica che il PO pone è effettivamente trattata in dettaglio in un altro documento che non è ad accesso aperto.

La loro conclusione finale suggerisce la seguente strategia (per un album di 660 adesivi):

Acquista una confezione da 100 confezioni da 5 adesivi (500 adesivi, garantiti per essere tutti diversi)
Acquista altri 40 pacchetti da 5 adesivi e scambia i duplicati fino a quando non hai al massimo 50 adesivi mancanti.
Acquista gli adesivi rimanenti direttamente da Panini (costano circa 1,5 volte di più).

Si tratta di un totale di 140 confezioni + fino a 15 pacchetti extra di adesivi (in base al costo) acquistati in modo mirato, equivalenti a un massimo di 155 confezioni .

— Asuranceturix
fonte

Grande! Sembra che l'argomento centrale dei loro risultati sarebbe nell'articolo "Il problema del collezionista con i disegni di gruppo" , che purtroppo non è in libero accesso.

— Jundiaius il

Haha, è fantastico! Inoltre, entrano nei dettagli su come lo scambio influisce sul risultato (che ho lasciato fuori questione). Molto interessante, grazie!

— Vidar S. Ramdal,

Puoi riassumere la soluzione al problema del PO fornito dal documento? I collegamenti a volte scadono e quindi questa risposta diventerà meno utile.

— Andy,

@Andy: ho modificato la risposta per rispondere alle tue preoccupazioni, ma non è esattamente la risposta alla domanda originale. Sfortunatamente, l'articolo originale che fornisce questa risposta è troppo difficile da leggere per me, mi dispiace.

— Asuranceturix,

Sono dubbioso su una scatola di 100 confezioni contenente solo adesivi distinti. Sembra che ciò comporterebbe enormi e inutili complicazioni di fabbricazione a scarsi benefici.

— jwg