Quali sono le condizioni di regolarità per il test del rapporto di verosimiglianza

Qualcuno potrebbe dirmi quali sono le condizioni di regolarità per la distribuzione asintotica del test del rapporto di verosimiglianza?

Ovunque guardi, è scritto "Sotto le condizioni di regolarità" o "Sotto le regolarità probabilistiche". Quali sono esattamente le condizioni? Che esistano il primo e il secondo derivato di verosimiglianza e che la matrice delle informazioni non sia zero? O qualcos'altro interamente?

maximum-likelihood likelihood-ratio asymptotics

— Kingstat
fonte

Le condizioni di regolarità richieste sono elencate nella maggior parte dei libri di testo intermedi e non sono diverse da quelle del mle. Quelle che seguono riguardano il caso di un parametro, tuttavia la loro estensione a quella multiparametro è semplice.

Condizione 1 : i pdf sono distinti, ovvero $\theta \neq \theta ^{\prime} \Rightarrow f(x_i;\theta)\neq f(x_i;\theta ^{\prime})$

Si noti che questa condizione indica essenzialmente che il parametro identifica il pdf.

Condizione 2: i pdf hanno un supporto comune per tutti $\theta$

Ciò implica che il supporto non dipende da $\theta$

Condizione 3 : Il punto , il vero parametro che è, è un punto interno in alcuni set $\theta_0$ $\Omega$

L'ultimo riguarda la possibilità che appaia negli endpoint di un intervallo. $\theta$

Questi garanzia tre insieme che la probabilità è massimizzata alla vera parametro e quindi che il mle che risolve l'equazione $\theta_0$ $\hat{\theta}$

\frac{\partial l (θ)}{\partial θ} = 0

$\frac{\partial l(\theta)} {\partial \theta}=0$

è consistente.

Condizione 4 : Il pdf è due volte differenziabile in funzione di $f(x;\theta)$ $\theta$

Condizione 5 : l'integrale può essere differenziata due volte sotto il segno integrale in funzione di $\int_{-\infty}^{\infty} f(x;\theta)\ \mathrm dx$ $\theta$

Abbiamo bisogno degli ultimi due per ricavare le informazioni di Fisher, che svolgono un ruolo centrale nella teoria della convergenza della mle.

Per alcuni autori questi sono sufficienti, ma se vogliamo essere approfonditi, abbiamo anche bisogno di una condizione finale che assicuri la normalità asintotica del mle.

Condizione 6 : Il pdf è tre volte differenziabile in funzione di . Inoltre per tutti , esiste una costante e una funzione tale che $f(x;\theta)$ $\theta$ $\theta \in \Omega$ $c$ $M(x)$

| \frac{\partial^{3} l o g f (x; θ)}{\partial θ^{3}} | \leq M (x)

$\left| \frac{\partial^3 log f(x;\theta)}{\partial \theta^3} \right| \leq M(x)$

$E_{\theta_0} \left[M(X)\right] <\infty$ $|\theta-\theta_0|<c$ $x$ $X$

$\theta_0$

È quello che avevi in mente?

— Jöhnk
fonte

Grazie. Ma sei sicuro che le condizioni di regolarità legate alla dimostrazione che -2log (lambda) segue il quadrato Chi con df 1 sono le stesse?

— Kingstat,

H_{0}

$H_0$

θ = θ_{0}

$\theta=\theta_0$

- 2 \log Λ \to^{D} χ^{2} (1)

$-2\log\Lambda \to^D \chi^2 (1)$

potresti per favore anche dirmi come per una densità N (θ, 1), il test del punteggio di Rao equivale al test UMPU?

— Kingstat,

@Kingstat Cosa significa UMPU?

— JohnK,

Uniformamente più potente imparziale.

— Kingstat,