Inizierò dicendo che questo è un problema di compiti appena uscito dal libro. Ho trascorso un paio d'ore a cercare come trovare i valori previsti e ho deciso di non capire nulla.

Lascia che abbia il CDF . Trova per quei valori di per cui esiste .$X$$F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$
$E(X)$$\alpha$$E(X)$

Non ho idea di come iniziare questo. Come posso determinare quali valori di esistono? Inoltre non so cosa fare con il CDF (suppongo che ciò significhi Funzione di distribuzione cumulativa). Esistono formule per trovare il valore atteso quando si dispone di una funzione di frequenza o densità. Wikipedia afferma che il CDF di può essere definito in termini della funzione di densità di probabilità come segue:$\alpha$$X$$f$

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

Questo è quanto ho ottenuto. Dove vado da qui?

EDIT: intendevo mettere .$x\ge1$

Modificato per il commento da chanceislogic

Si noti che in questo caso quindi la distribuzione ha probabilità di essere inferiore a , quindi , e sarà necessario anche per un cdf crescente.0 1 x ≥ 1 α > $F(1)=0$$0$$1$$x \ge 1$$\alpha > 0$

Se hai il cdf allora vuoi l'anti-integrale o il derivato che con una distribuzione continua come questa

$$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$

e al contrario per .x ≥ $F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$$x \ge 1$

Quindi per trovare le aspettative che devi trovare

$$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$$

purché ciò esista. Lascerò il calcolo a te.

L'uso della funzione di densità non è necessario

Integrare 1 meno il CDF

Quando si dispone di una variabile casuale con un supporto non negativo (ovvero, la variabile ha densità / probabilità diversa da zero per soli valori positivi), è possibile utilizzare la seguente proprietà:$X$

$$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$$

Una proprietà simile si applica nel caso di una variabile casuale discreta.

Prova

Poiché ,$1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

$$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$$

Quindi modificare l'ordine di integrazione:

$$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$$

Riconoscendo che è una variabile fittizia o prendendo la semplice sostituzione e ,$t$$t=x$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

$$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$$

Attribuzione

Ho usato le Formule per casi speciali sezione del Valore atteso articolo su Wikipedia per rinfrescarmi la memoria sulla prova. Tale sezione contiene anche prove per il caso variabile casuale discreto e anche per il caso in cui non esiste alcuna funzione di densità.

Il risultato si estende al esimo momento di pure. Ecco una rappresentazione grafica: $k$$X$

Penso che in realtà intendi , altrimenti il ​​CDF è vacuo, come .$x\geq 1$$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$

Quello che "sai" sui CDF è che alla fine si avvicinano a zero quando l'argomento diminuisce senza limite e alla fine si avvicinano a uno come . Sono anche non decrescenti, quindi questo significa per tutti .$x$$x \to \infty$$0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$$y\leq x$

Quindi se colleghiamo il CDF otteniamo:

$$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$$

Da ciò concludiamo che il supporto per è . Ora richiediamo anche che implica chex ≥ 1 lim x → ∞ F ( x ) = 1 α > $x$$x\geq 1$$\lim_{x\to\infty} F(x)=1$$\alpha>0$

Per capire quali valori esiste l'aspettativa, abbiamo bisogno di:

$$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$$

E quest'ultima espressione mostra che per esistere , dobbiamo avere , che a sua volta implica . Questo può essere facilmente esteso per determinare i valori di per i quali esiste il 'esimo momento .$E(X)$$-\alpha<-1$$\alpha>1$$\alpha$$r$$E(X^{r})$

La risposta che richiede un cambio di ordine è inutilmente brutta. Ecco una più elegante prova a 2 righe.

$\int udv = uv - \int vdu$

Ora prendi e$du = dx$$v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$