Funzioni generatrici di momenti e trasformazioni di Fourier?

Una funzione generatrice di momenti è una trasformata di Fourier di una funzione di densità di probabilità?

In altre parole, una funzione generatrice di momenti è solo la risoluzione spettrale di una distribuzione di densità di probabilità di una variabile casuale, ovvero un modo equivalente per caratterizzare una funzione in termini di ampiezza, fase e frequenza anziché in termini di un parametro?

Se è così, possiamo dare un'interpretazione fisica a questa bestia?

Chiedo perché nella fisica statistica una funzione generatrice cumulativa , il logaritmo di una funzione generatrice di momenti, è una quantità additiva che caratterizza un sistema fisico. Se pensi all'energia come a una variabile casuale, la sua funzione di generazione cumulativa ha un'interpretazione molto intuitiva come la diffusione di energia in un sistema. Esiste un'interpretazione intuitiva simile per la funzione generatrice del momento?

Capisco l' utilità matematica di esso, ma non è solo un concetto di trucco, sicuramente c'è un significato dietro di esso concettualmente?

moments mgf cumulants

— bolbteppa
fonte

Credo che sia la funzione caratteristica che assomiglia di più alla trasformata di Fourier. La funzione di generazione del momento è una trasformata di Laplace.

— Placidia,

Interessante: "La trasformata di Laplace è correlata alla trasformata di Fourier, ma mentre la trasformata di Fourier risolve una funzione o un segnale nelle sue modalità di vibrazione, la trasformata di Laplace risolve una funzione nei suoi momenti" princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/ docs / ... Quindi immagino che la domanda sia: come, intuitivamente, una trasformazione di Laplace decompone una funzione in suoi momenti, e c'è un'interpretazione geometrica di questo?

— Bolbteppa,

Lo fa in virtù dell'espansione della serie di Taylor della funzione esponenziale.

— Placidia,

Ora tutto ha quasi senso! Tuttavia, cos'è esattamente un momento, intuitivamente? Lo so: "In generale un momento può essere considerato come un campione diverge dal valore medio di un segnale - il primo momento è in realtà la media, il secondo è la varianza ecc ..." dsp.stackexchange.com/a/ 11032 Tuttavia, cosa significa intuitivamente? Qual è il campione quando si calcola il 1 ° / 2 ° / 3 ° / 4 ° momento di dire, x ^ 2 (prendendo una trasformata di Laplace di x ^ 2)? C'è un'interpretazione geometrica?

— bolbteppa,

L'MGF è

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

per valori reali di dove esiste l'attesa. In termini di una funzione di densità di probabilità , $t$ $f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

Questa non è una trasformata di Fourier (che avrebbe piuttosto che . $e^{itx}$ $e^{tx}$

La funzione di generazione del momento è quasi una trasformata di Laplace a due facce, ma la trasformata di Laplace a due facce ha anziché . $e^{-tx}$ $e^{tx}$

— Brian Borchers
fonte

+1 A parte: la funzione caratteristica è quella che è più strettamente correlata alla trasformata di Fourier (in quel caso, di nuovo, c'è il piccolo problema di un segno meno) - il cf è , mentre - fino alle costanti moltiplicative - la solita trasformata di Fourier sarebbe . Queste connessioni si rivelano abbastanza utili a volte, come la ricerca di elenchi di proprietà utili delle trasformate di Fourier o di Laplace che di solito si ripercuotono direttamente o la possibilità di cercare ampie tabelle di trasformazioni di Fourier o di Laplace quando si trovano MGF o cfs.

E (e^{i t X})

$E(e^{itX})$

E (e^{- i t X})

$E(e^{-itX})$

— Glen_b

E naturalmente la proprietà più utile è che l'MGF della somma di due variabili casuali indipendenti è il prodotto delle loro funzioni generatrici del momento. Ciò equivale alla regola secondo cui la trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle loro trasformate di Fourier.

— Brian Borchers,