Comprensione del test Chi-quadrato e della distribuzione Chi-quadrato

Sto cercando di capire la logica dietro il test chi-quadrato.

Il test Chi-quadrato è . χ2viene quindi confrontato con una distribuzione Chi-quadrata per scoprire un valore p al fine di respingere o meno l'ipotesi nulla. H0: le osservazioni provengono dalla distribuzione che abbiamo usato per creare i nostri valori previsti. Ad esempio, potremmo verificare se la probabilità di ottenereè data dapcome ci aspettiamo. Quindi lanciamo 100 volte e troviamonHe1-nH. Vogliamo confrontare la nostra scoperta con ciò che è previsto (100⋅p). Potremmo anche usare una distribuzione binomiale ma non è questo il punto della domanda ... La domanda è:$\chi ^2 = \sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$$\chi ^2$$H_0$head$p$$n_H$ Heads$1-n_H$ tails$100 \cdot p$

Puoi spiegare perché, sotto l'ipotesi nulla, segue una distribuzione chi-quadrata?$\sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$

Tutto quello che so sulla distribuzione Chi-quadrato è che la distribuzione Chi-quadrato di grado è la somma della distribuzione normale standard di k quadrato.$k$$k$

Potremmo anche usare una distribuzione binomiale ma non è questo il punto della domanda ...

Tuttavia, è il nostro punto di partenza anche per la tua vera domanda. Lo tratterò in modo un po 'informale.

Consideriamo più in generale il caso binomiale:

$Y\sim \text{Bin}(n,p)$

$n$$p$$Y$$\min(np,n(1-p))$$np(1-p)$

Quindi sarà approssimativamente . Qui è il numero di successi.$(Y-E(Y))^2/\text{Var}(Y)$$\sim\chi^2_1$$Y$

Abbiamo e .$E(Y) = np$$\text{Var}(Y)=np(1-p)$

(Nel caso di test, è noto e è specificato in . Non facciamo alcuna stima.)$n$$p$$H_0$

Quindi sarà approssimativamente .$(Y-np)^2/np(1-p)$$\sim\chi^2_1$

Si noti che . Si noti inoltre che .$(Y-np)^2 = [(n-Y)-n(1-p)]^2$$\frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p(1-p)}$

Quindi$\frac{(Y-np)^2}{np(1-p)} = \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{(Y-np)^2}{n(1-p)}\\ \quad= \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{[(n-Y)-n(1-p)]^2}{n(1-p)} \\ \quad= \frac{(O_S-E_S)^2}{E_S}+\frac{(O_F-E_F)^2}{E_F}$

Che è solo la statistica chi-quadro per il caso binomiale.

Quindi in quel caso la statistica chi-quadro dovrebbe avere la distribuzione del quadrato di una variabile casuale (approssimativamente) normale-normale.