Perché R's lm () restituisce stime di coefficienti diverse rispetto al mio libro di testo?

sfondo

Sto cercando di capire il primo esempio in un corso sui modelli di adattamento (quindi questo può sembrare ridicolmente semplice). Ho fatto i calcoli a mano e corrispondono all'esempio, ma quando li ripeto in R, i coefficienti del modello sono disattivati. Ho pensato che la differenza potrebbe essere dovuta al libro di testo che utilizza la varianza della popolazione ( $\sigma^2$ ) mentre R potrebbe usare la varianza del campione ( $S^2$ ), ma non riesco a vedere dove vengano utilizzati nei calcoli. Ad esempio, se lm()utilizza var()da qualche parte, la sezione della guida sulle var()note:

Viene usato il denominatore n - 1 che fornisce uno stimatore imparziale della (co) varianza per le osservazioni iid.

Ho esaminato il codice per entrambi lm()e lm.fit()e nessuno dei due ne fa uso var(), ma lm.fit()passa quei dati al codice C compilato ( z <- .Call(C_Cdqrls, x, y, tol, FALSE)) a cui non ho accesso.

Domanda

Qualcuno può spiegare perché R sta dando risultati diversi? Anche se esiste una differenza nell'uso della varianza tra campione e popolazione, perché le stime dei coefficienti differiscono?

Dati

Adatta una linea per prevedere il numero di scarpe dalla classe a scuola.

# model data
mod.dat <- read.table(
    text = 'grade shoe
                1    1
                2    5
                4    9'
    , header = T);

# mean
mod.mu  <- mean(mod.dat$shoe);
# variability 
mod.var <- sum((mod.dat$shoe - mod.mu)^2)

# model coefficients from textbook
mod.m  <- 8/3;
mod.b  <- -1;

# predicted values  ( 1.666667 4.333333 9.666667 )
mod.man.pred       <- mod.dat$grade * mod.m + mod.b;
# residuals         ( -0.6666667  0.6666667 -0.6666667 )
mod.man.resid      <- (mod.dat$shoe - mod.man.pred)
# residual variance ( 1.333333 )
mod.man.unexpl.var <- sum(mod.man.resid^2);
# r^2               ( 0.9583333 )
mod.man.expl.var   <- 1 - mod.man.unexpl.var / mod.var;

# but lm() gives different results:
summary(lm(shoe ~ grade, data = mod.dat))

Call:
lm(formula = shoe ~ grade, data = mod.dat)

Residuals:
      1       2       3 
-0.5714  0.8571 -0.2857 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  -1.0000     1.3093  -0.764    0.585
grade         2.5714     0.4949   5.196    0.121

Residual standard error: 1.069 on 1 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9643,    Adjusted R-squared:  0.9286 
F-statistic:    27 on 1 and 1 DF,  p-value: 0.121

modificare

Come ha dimostrato Ben Bolker , a volte sembra che gli insegnanti commettano errori. Sembra che i calcoli R siano corretti. Morale della storia: non credere a qualcosa solo perché un insegnante dice che è vero. Verifica tu stesso!

Sembra che l'autore abbia fatto un errore matematico da qualche parte.

Se si espande la deviazione della somma dei quadrati

$S$$b$$m$

Risolvere

R dice che questo è davvero 2.571429 ...

Sulla base di questo link sembra provenire da un corso di Coursera ...? Forse c'è stata una trascrizione errata dei dati da qualche parte?

$\sum (y-\bar y) (x-\bar x)$$\sum (x-\bar x)^2$

g <- c(1,2,4)
g0 <- g - mean(g)
s <- c(1,5,9)
s0 <- s- mean(s)
sum(g0*s0)/(sum(g0^2))
## [1] 2.571429

$\{1,11/3,9\}$$\{1,5,9\}$quindi la pendenza verrebbe fuori a 8/3 ...