Una "distribuzione stabile" è un particolare tipo di famiglia di distribuzioni su scala locale. La classe di distribuzioni stabili è parametrizzata da due numeri reali, la stabilità e l' asimmetria β ∈ [ - 1 , 1 ] .α ∈ ( 0 , 2 ] β∈ [ - 1 , 1 ]
Un risultato citato nell'articolo di Wikipedia risolve questa domanda sulla chiusura sotto prodotti di funzioni di densità. Quando è la densità di una distribuzione stabile con α < 2 , quindi asintoticamentefα < 2
f( x ) ∼ | x |- ( 1 + α )g( sgn( x ) , α , β)
per una funzione esplicitamente data cui dettagli non contano. (In particolare, g sarà diverso da zero per tutti gli x positivi o tutti gli x negativi o entrambi.) Il prodotto di due di tali densità sarà pertanto asintoticamente proporzionale a | x | - 2 ( 1 + α ) in almeno una coda. Poiché 2 ( 1 + α ) ≠ 1 + α , questo prodotto (dopo la rinormalizzazione) non può corrispondere a nessuna distribuzione nella stessa famiglia stabile.ggXX| x |- 2 ( 1 + α )2 ( 1 + α ) ≠ 1 + α
(Infatti, poiché per ogni possibile α ′ ∈ ( 0 , 2 ] , il prodotto di una qualsiasi di queste tre funzioni di densità non può nemmeno essere la funzione di densità di alcuna distribuzione stabile. Ciò distrugge ogni speranza di estendere l'idea di chiusura del prodotto da una singola distribuzione stabile a un insieme di distribuzioni stabili.)3 ( 1 + α ) ≠ 1 + α'α'∈ ( 0 , 2 ]
L'unica possibilità rimanente è . Queste sono le distribuzioni normali, con densità proporzionali a exp ( - ( x - μ ) 2 / ( 2 σ 2 ) ) per i parametri di posizione e scala μ e σ . È semplice verificare che un prodotto di due espressioni di questo tipo abbia la stessa forma (poiché la somma di due forme quadratiche in x è un'altra forma quadratica in x ).α = 2exp( - ( x - μ )2/ (2 σ2) )μσXX
La risposta unica, quindi, è che la famiglia di distribuzione normale è l'unica distribuzione stabile a densità chiusa del prodotto.