Distribuzioni stabili che possono essere moltiplicate?

Le distribuzioni stabili sono invarianti sotto le convoluzioni. Quali sotto-famiglie delle distribuzioni stabili vengono chiuse anche sotto moltiplicazione? Nel senso che se e , quindi la funzione di densità di probabilità del prodotto, (fino a una costante di normalizzazione) appartiene anche a ? $F$ $f\in F$ $g\in F$ $f \cdot g$ $F$

Nota: ho sostanzialmente modificato il contenuto di questa domanda. Ma l'idea è essenzialmente la stessa, e ora è molto più semplice. Ho avuto solo una risposta parziale, quindi penso che vada bene.

distributions convolution stable-distribution

— Becko
fonte

Se il dominio è limitato, la media e la varianza (in effetti tutti i momenti) devono essere limitate. Quanto sei sicuro che esistano distribuzioni conosciute che soddisfano tutte le condizioni?

— Glen_b -Restastate Monica il

@Glen_b Se è possibile dimostrare che non esiste alcuna distribuzione con tutte queste condizioni, accetterò una risposta con quella prova.

— becko,

Cos'è esattamente la "distribuzione uniforme limitata" in (5)? È una distribuzione (e se sì, quali sono i suoi parametri) o è una famiglia di distribuzioni uniformi (e se sì, quale famiglia è)?

— whuber

(1) Per "sottofamiglia" intendi le distribuzioni stabili ? (2a) In tal caso, dato che il prodotto dei gaussiani è ovviamente un altro gaussiano, hai una risposta immediata in positivo. (2b) In caso contrario, ci sono una miriade di risposte. Inizia con qualsiasi famiglia di distribuzioni continue con densità ovunque positiva. La famiglia più piccola che contiene ed è chiusa in prodotti rinormalizzati con funzioni di densità fa il suo lavoro. Puoi calcolarli esplicitamente quando ha solo un elemento.

F

$\mathcal F$

F

$\mathcal F$

F

$\mathcal F$

— whuber

@whuber Sì, intendo una sottofamiglia delle distribuzioni stabili. Hai ragione, un gaussiano soddisfa i miei criteri. In realtà stavo cercando altri esempi, ma ho dimenticato di menzionarlo. Ci sono altre distribuzioni che soddisfano anche i miei criteri? Aggiornerò la domanda, grazie per avermi aiutato a renderlo più chiaro.

— becko,

Risposte:

Una "distribuzione stabile" è un particolare tipo di famiglia di distribuzioni su scala locale. La classe di distribuzioni stabili è parametrizzata da due numeri reali, la stabilità e l' asimmetria . $\alpha\in(0,2]$ $\beta\in[-1,1]$

Un risultato citato nell'articolo di Wikipedia risolve questa domanda sulla chiusura sotto prodotti di funzioni di densità. Quando è la densità di una distribuzione stabile con , quindi asintoticamente $f$ $\alpha \lt 2$

f (X) ~ | X |^{- (1 + α)} g (sgn (X), α, β)

$f(x) \sim |x|^{-(1+\alpha)} g(\operatorname{sgn}(x), \alpha, \beta)$

per una funzione esplicitamente data cui dettagli non contano. (In particolare, sarà diverso da zero per tutti gli positivi o tutti gli negativi o entrambi.) Il prodotto di due di tali densità sarà pertanto asintoticamente proporzionale a in almeno una coda. Poiché , questo prodotto (dopo la rinormalizzazione) non può corrispondere a nessuna distribuzione nella stessa famiglia stabile. $g$ $g$ $x$ $x$ $|x|^{-2(1+\alpha)}$ $2(1+\alpha)\ne 1+\alpha$

(Infatti, poiché per ogni possibile , il prodotto di una qualsiasi di queste tre funzioni di densità non può nemmeno essere la funzione di densità di alcuna distribuzione stabile. Ciò distrugge ogni speranza di estendere l'idea di chiusura del prodotto da una singola distribuzione stabile a un insieme di distribuzioni stabili.) $3(1+\alpha) \ne 1+\alpha^\prime$ $\alpha^\prime\in(0,2]$

L'unica possibilità rimanente è . Queste sono le distribuzioni normali, con densità proporzionali a per i parametri di posizione e scala e . È semplice verificare che un prodotto di due espressioni di questo tipo abbia la stessa forma (poiché la somma di due forme quadratiche in è un'altra forma quadratica in ). $\alpha=2$ $\exp(-(x-\mu)^2/(2\sigma^2))$ $\mu$ $\sigma$ $x$ $x$

La risposta unica, quindi, è che la famiglia di distribuzione normale è l'unica distribuzione stabile a densità chiusa del prodotto.

— whuber
fonte

Freddo! Questo è quindi un buon modo per definire una distribuzione normale, come i prodotti unici stabili e chiusi. Grazie

— becko

So che questa è una risposta parziale e non sono un esperto, ma questo potrebbe essere d'aiuto: se uno dei due pdf unimodali è log-concavo, la loro convoluzione è unimodale. A causa di Ibragimov (1956) , tramite queste note . Apparentemente, se entrambi sono log-concavi, allora anche la convoluzione è log-concava.

Per quanto riguarda la chiusura del prodotto, l'unico "pulito" risultato che conosco per le distribuzioni di prodotti è il limite teorema descritto in questa risposta math.se .

Che ne dici di una versione troncata di questi ? La distribuzione uniforme delimitata è un caso limitante del suo parametro di forma e, per quanto ne so, sono unimodali e concava-log quindi hanno convoluzioni unimodali, concava-log. Non ho idea dei loro prodotti. Quando avrò più tempo dopo questa settimana, potrei provare ad eseguire alcune simulazioni per vedere se ottengo prodotti log-concavi di distribuzioni di errori troncate. Forse Govindarajulu (1966) avrebbe aiutato.

Non sono sicuro di quale sia la politica sul crossposting, ma sembra che le persone matematiche possano essere in grado di aiutarti. Per curiosità, stai cercando di costruire una struttura algebrica dalle distribuzioni di probabilità?

— shadowtalker
fonte

La politica sul crossposting è contenuta nella prima pagina dell'aiuto. Dice "per favore non attraversare". Dovremmo scegliere il miglior sito per la nostra domanda. Una domanda può essere migrata se necessario. Se una parte di una domanda è più adatta a un sito diverso, la domanda dovrebbe essere posta come due domande separate (che possono essere collegate).

— Glen_b