Ha senso eseguire un test Kolmogorov-Smirnov a una coda?

È significativo e possibile eseguire un test KS a una coda? Quale sarebbe l'ipotesi nulla di tale test? O il test KS è intrinsecamente un test a due code?

Vorrei beneficiare di una risposta che mi ha aiutato a capire la distribuzione di D (sto lavorando attraverso il documento di Massey del 1951, e trovo la descrizione stimolante, ad esempio $D^{+}$ e $D^{-}$ il supremum e l'infimo delle differenze del valore non assoluto delle differenze nei CDF empirici?).

Follow domanda: come si $p$ -Valori per $D^{+}$ e $D^{-}$ ottenuti? Molte delle pubblicazioni che sto incontrando presentano valori tabulari, piuttosto che CDF di , e D - .$D_{n}$$D^{+}$$D^{-}$

Aggiornamento: ho appena scoperto la domanda correlata Qual è l'ipotesi nulla in un test di Kolmogorov-Smirnov unilaterale? , che mi mancava nella mia scansione iniziale prima di scrivere questo.

È significativo e possibile eseguire un test KS a una coda?

Decisamente.

il test KS è intrinsecamente un test a due code?

Affatto.

Quale sarebbe l'ipotesi nulla di tale test?

Non chiarisci se stai parlando del test a un campione o dei due campioni. La mia risposta qui copre entrambi: se consideri come rappresentante del cdf della popolazione da cui è stato estratto un campione X , si tratta di due campioni, mentre ottieni un caso campione considerando F X come una distribuzione ipotizzata ( F $F_X$$X$$F_X$$F_0$ , se preferisci).

In alcuni casi potresti scrivere il null come uguaglianza (ad esempio se non fosse visto come possibile per andare nell'altra direzione), ma se vuoi scrivere un null direzionale per un'alternativa a una coda, potresti scrivere qualcosa del genere :

$H_0: F_Y(t)\geq F_X(t)$

$H_1: F_Y(t)< F_X(t)\,$, per almeno una $t$

(o il suo contrario per l'altra coda, naturalmente)

Se aggiungiamo un presupposto quando usiamo il test che sono uguali o che sarà più piccolo, allora il rifiuto del nulla implica (primo ordine) ordine stocastico / dominanza stocastica del primo ordine$F_Y$ . In campioni abbastanza grandi, è possibile incrociare le F, anche più volte, e rifiutare ancora il test unilaterale, quindi il presupposto è strettamente necessario per il dominio stocastico.

Liberamente se con disuguaglianza stretta per almeno qualche t allora Y 'tende ad essere più grande' di X .$F_Y(t)\leq F_X(t)$$t$$Y$$X$

Aggiungere ipotesi come questa non è strano; è standard. Non è particolarmente diverso dall'assumere (diciamo in un ANOVA) che una differenza nei mezzi sia dovuta a uno spostamento dell'intera distribuzione (piuttosto che a un cambiamento di asimmetria, in cui parte della distribuzione si sposta verso il basso e alcuni si sposta verso l'alto, ma in tale modo in cui la media è cambiata).

Quindi consideriamo, ad esempio, uno spostamento nella media per un normale:

Il fatto che la distribuzione di è spostata a destra da una certa quantità da quello per X implica che F Y è inferiore F X . Il test unilaterale di Kolmogorov-Smirnov tenderà a rifiutare in questa situazione.$Y$$X$$F_Y$$F_X$

Allo stesso modo, considera uno spostamento di scala in una gamma:

Ancora una volta, il passaggio a una scala più ampia produce una F. inferiore. Ancora una volta, il test unilaterale di Kolmogorov-Smirnov tenderà a rifiutare in questa situazione.

Esistono numerose situazioni in cui tale test può essere utile.

Quindi cosa sono e D - ?$D^+$$D^-$

Nel test a un campione, è la massima deviazione positiva del cdf del campione dalla curva ipotizzata (ovvero la distanza maggiore l'ECDF è superiore a F 0 , mentre D - è la massima deviazione negativa - la distanza maggiore dell'ECDF è sotto F 0 ). Sia D + che D - sono quantità positive:$D^+$$F_0$$D^-$$F_0$$D^+$$D^-$

$D^+$$D^-$

$H_0: F_Y(t)\geq F_0(t)$

$H_1: F_Y(t)< F_0(t)\,$, per almeno una $t$

$Y$$F$$F_0$$D^-$$F_Y(t)< F_0(t)$$D^-$

$D^+$$D^−$

Non è una cosa semplice Sono stati utilizzati vari approcci.

Se ricordo correttamente uno dei modi in cui la distribuzione è stata ottenuta tramite l'uso dei processi del ponte browniano ( questo documento sembra supportare tale ricordo ).

Credo che questo articolo, e l'articolo di Marsaglia e altri qui trattino entrambi alcuni retroscena e forniscano algoritmi computazionali con molti riferimenti.

Tra questi, avrai un sacco di storia e vari approcci che sono stati utilizzati. Se non coprono ciò di cui hai bisogno, probabilmente dovrai porlo come una nuova domanda.

$D_n$$D^+$$D^−$

Non è particolarmente una sorpresa. Se ricordo bene, anche la distribuzione asintotica si ottiene come una serie (questo ricordo sarebbe sbagliato), e in campioni finiti è discreto e non in qualsiasi forma semplice. In entrambi i casi e non esiste un modo conveniente per presentare le informazioni se non come un grafico o una tabella.