Derivazione della distribuzione bivariata di Poisson

Di recente ho incontrato la distribuzione bivariata di Poisson, ma sono un po 'confuso su come possa essere derivato.

La distribuzione è data da:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

Da quello che posso raccogliere, il termine è una misura della correlazione tra e ; quindi, quando e sono indipendenti, \ theta_ {0} = 0 e la distribuzione diventa semplicemente il prodotto di due distribuzioni univariate di Poisson.$\theta_{0}$$X$$Y$$X$$Y$$\theta_{0} = 0$

Tenendo questo in mente, la mia confusione si basa sul termine sommatoria - Sto assumendo questo termine spiega la correlazione tra $X$ e $Y$ .

Mi sembra che il summand costituisca una sorta di prodotto di funzioni binomiali di distribuzione cumulativa in cui la probabilità di "successo" è data da e la probabilità di "fallimento" è data da , perché, ma potrei essere molto lontano da questo.$\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$$i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$$\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$

Qualcuno potrebbe fornire un po 'di assistenza su come questa distribuzione può essere derivata? Inoltre, se potesse essere incluso in qualsiasi risposta come questo modello possa essere esteso a uno scenario multivariato (diciamo tre o più variabili casuali), sarebbe fantastico!

(Infine, ho notato che prima era stata posta una domanda simile ( Comprensione della distribuzione bivariata di Poisson ), ma la derivazione non è stata effettivamente esplorata.)

In una presentazione di diapositive , Karlis e Ntzoufras definiscono un Poisson bivariato come distribuzione di dove indipendentemente le distribuzioni Poisson . Ricordiamo che avere una tale distribuzione significa$(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$$X_i$$\theta_i$

$$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$$

per$k=0, 1, 2, \ldots.$

L'evento è l'unione disgiunta degli eventi$(X,Y)=(x,y)$

$$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$$

per tutti che rendono tutti e tre i numeri interi non negativi, dai quali possiamo dedurre che . Poiché gli sono indipendenti, le loro probabilità si moltiplicano, da cui$i$$0 \le i \le \min(x,y)$$X_i$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$$

Questa è una formula; abbiamo chiuso. Ma per vedere che è equivalente alla formula nella domanda, usa la definizione della distribuzione di Poisson per scrivere queste probabilità in termini di parametri e (supponendo che nessuna di sia zero) rielabora algebricamente per assomigliare il più possibile al prodotto :$\theta_i$$\theta_1,\theta_2$$\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

$$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$$

Se vuoi davvero - è piuttosto suggestivo - puoi i termini nella somma usando i coefficienti binomiali E , cedendo$\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$$\binom{y}{i}$

$$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$$

esattamente come nella domanda.

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La generalizzazione a scenari multivariati potrebbe procedere in diversi modi, a seconda della flessibilità necessaria. Il più semplice contemplerebbe la distribuzione di

$$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$$

per variatori distribuiti Poisson indipendenti . Per una maggiore flessibilità potrebbero essere introdotte variabili aggiuntive. Per esempio, l'uso indipendente di Poisson variabili e prendere in considerazione la distribuzione multivariata della ,$X_0, X_1, \ldots,X_d$$\eta_i$$Y_1, \ldots, Y_d$$X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$$i=1, 2, \ldots, d.$

Ecco un modo per derivare la distribuzione del poisson bivariata.

Sia variabili indipendenti casuali indipendenti con parametri . Quindi definiamo . La variabile , comune a e , fa sì che la coppia sia correlata. Quindi dobbiamo calcolare la funzione di massa di probabilità:$X_0, X_1, X_2$$\theta_0, \theta_1, \theta_2$$Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$$X_0$$Y_1$$Y_2$$(Y_1, Y_2)$

$$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$$
Spero che questo ti aiuti!