Trasformazione dei dati proporzionali: quando arcsin radice quadrata non è sufficiente

Esiste un'alternativa (più forte?) Alla trasformazione della radice quadrata di arcsin per dati percentuale / proporzionali? Nel set di dati su cui sto lavorando al momento, rimane marcata eteroscedasticità dopo che ho applicato questa trasformazione, vale a dire che la trama dei residui rispetto ai valori adattati è ancora molto romboidale.

Modificato per rispondere ai commenti: i dati sono decisioni di investimento di partecipanti sperimentali che possono investire lo 0-100% di una dotazione in multipli del 10%. Ho anche esaminato questi dati usando la regressione logistica ordinale, ma vorrei vedere cosa avrebbe prodotto un glm valido. Inoltre, ho potuto vedere la risposta utile per il lavoro futuro, dato che la radice quadrata di arcsin sembra essere usata come soluzione a misura unica per tutte le mie attività nel mio campo e non avevo trovato nessuna alternativa impiegata.

Sicuro. John Tukey descrive una famiglia di (crescenti, one-to-one) trasformazioni in EDA . Si basa su queste idee:

1. Essere in grado di estendere le code (verso 0 e 1) come controllato da un parametro.

2. Tuttavia, per abbinare i valori originali (non trasformati) vicino al centro ( ), il che semplifica l'interpretazione della trasformazione.$1/2$

3. Per rendere la reespressione simmetrica di circa Cioè, se viene ri-espresso come f ( p ) , allora 1 - p verrà ri-espresso come - f ( p ) .$1/2.$$p$$f(p)$$1-p$$-f(p)$

Se si inizia con qualsiasi aumento monotono funzione $g: (0,1) \to \mathbb{R}$ differenziabile in $1/2$ si può regolare per soddisfare il secondo e il terzo criterio: basta definire

Il numeratore è esplicitamente simmetrico (criterio $(3)$ ), poiché scambiando $p$ con $1-p$ inverte la sottrazione, annullandola in tal modo. Per vedere che $(2)$ è soddisfatta, nota che il denominatore è proprio il fattore necessario per rendere $f^\prime(1/2)=1.$ Ricordiamo che le approssima derivati comportamento locale di una funzione con una funzione lineare; una pendenza di $1=1:1$ significa quindi che $f(p)\approx p$(più una costante $-1/2$ ) quando $p$ è sufficientemente vicino a $1/2.$ Questo è il senso in cui i valori originali vengono "abbinati vicino al centro."

Tukey chiama questa la versione "piegata" di $g$ . La sua famiglia è costituita dalle trasformazioni di potenza e log $g(p) = p^\lambda$ dove, quando $\lambda=0$ , consideriamo $g(p) = \log(p)$ .

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi. Quando $\lambda = 1/2$ otteniamo la radice piegata o "froot," $f(p) = \sqrt{1/2}\left(\sqrt{p} - \sqrt{1-p}\right)$. Quando$\lambda = 0$abbiamo il logaritmo piegato, o "flog",$f(p) = (\log(p) - \log(1-p))/4.$ Evidentemente questo è solo un multiplo costante dellatrasformazionelogit,$\log(\frac{p}{1-p})$.

In questo grafico la linea blu corrisponde a $\lambda=1$ , la linea rossa intermedia a $\lambda=1/2$ , e la linea verde estremo $\lambda=0$ . La linea d'oro tratteggiata è la trasformazione di arcsine, $\arcsin(2p-1)/2 = \arcsin(\sqrt{p}) - \arcsin(\sqrt{1/2})$. Il "matching" piste (criterio$(2)$) fa sì che tutti i grafici a coincidere vicino$p=1/2.$

I valori più utili del parametro $\lambda$ trovano tra $1$ e $0$ . (È possibile effettuare le code ancora più pesante con i valori negativi di $\lambda$ , ma questo uso è raro.) $\lambda=1$ non fare nulla, tranne recenter i valori ( $f(p) = p-1/2$ ). Quando $\lambda$ riduce verso lo zero, le code vengono tirate ulteriormente verso $\pm \infty$ . Questo soddisfa il criterio n. 1. Pertanto, scegliendo un valore appropriato di $\lambda$ , è possibile controllare la "forza" di questa reespressione nelle code.

Un modo per includere è includere una trasformazione indicizzata. Un modo generale è utilizzare qualsiasi funzione di distribuzione cumulativa simmetrica (inversa), in modo che e F ( x ) = 1 - F ( - x ) . Un esempio è la distribuzione standard degli studenti, con ν gradi di libertà. Il parametro v controlla la velocità con cui la variabile trasformata si sposta all'infinito. Se imposti v = 1 allora hai la trasformazione arctan:$F(0)=0.5$$F(x)=1-F(-x)$$\nu$$v$$v=1$

Questo è molto più estremo di arcsine e più estremo della trasformazione logit. Si noti che la trasformazione logit può essere approssimata approssimativamente usando la distribuzione t con . SO in qualche modo fornisce un collegamento approssimativo tra trasformazioni logit e probit ( ν = ∞ ) e una loro estensione a trasformazioni più estreme.$\nu\approx 8$$\nu=\infty$

Il problema con queste trasformazioni è che danno quando la proporzione osservata è uguale a 1 o 0 . Quindi in qualche modo è necessario ridurli in qualche modo: il modo più semplice è aggiungere + 1 "successi" e + 1 "fallimenti".$\pm\infty$$1$$0$$+1$$+1$