Ogni matrice definita semi-positiva corrisponde a una matrice di covarianza?

È noto che una matrice di covarianza deve essere definita semi-positiva, ma è vero il contrario?

Cioè, ogni matrice definita semi-positiva corrisponde a una matrice di covarianza?

covariance matrix

— Jingjings
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Seguendo le definizioni di PD e PSD qui , sì, penso di sì, dal momento che possiamo farlo per costruzione. Presumo per un argomento leggermente più semplice che intendi per matrici con elementi reali, ma con opportune modifiche si estenderebbe a matrici complesse.

Sia una vera matrice PSD; dalla definizione a cui mi sono collegato, sarà simmetrico. Qualsiasi vero simmetrica definita positiva matrice può essere scritta come . Questo può essere fatto da se con ortogonale e diagonale e come matrice di elementi per saggi radici quadrate di . Pertanto, non è necessario che sia al livello massimo. $A$ $A$ $A = LL^T$ $L=Q\sqrt{D}Q^T$ $A=QDQ^T$ $Q$ $D$ $\sqrt{D}$ $D$

Sia una qualche variabile aleatoria vettoriale, della dimensione appropriata, con matrice di covarianza (che è facile da creare). $Z$ $I$

Poi ha matrice di covarianza . $LZ$ $A$

[Almeno questo è in teoria. In pratica ci sarebbero vari problemi numerici da affrontare se si volessero buoni risultati e, a causa dei soliti problemi con il calcolo in virgola mobile, si otterrebbe solo approssimativamente ciò di cui si ha bisogno; cioè, la varianza della popolazione di una calcolata solito non sarebbe esattamente . Ma questo genere di cose è sempre un problema quando arriviamo a calcolare effettivamente le cose] $LZ$ $A$

— Glen_b -Restate Monica
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Mentre è vero che una decomposizione è possibile senza rango pieno, l'algoritmo Cholesky funziona solo con normale . Quindi, senza rango massimo, non può essere una decomposizione di Cholesky. Computazionalmente, si potrebbe fare questa decomposizione nel caso singolare per diagonalizzazione. (Anche se questo è molto più costoso)

A = L L^{'}

$A=LL'$

A

$A$

— Horst Grünbusch,

@Horst: Perché dovrebbe essere triangolare inferiore?

L = Q \sqrt{D} Q^{T}

$L=Q\sqrt{D}Q^T$

— ameba dice di reintegrare Monica il

@amoeba Anche se uno potrebbe organizzarlo così com'è, non deve essere triangolare inferiore perché l'argomento funzioni: è una caratteristica di Cholesky ma non è necessario per il risultato.

— Glen_b -Restate Monica

@Glen Essere simmetrici è una condizione necessaria per essere PSD o questa definizione è una delle tante?

— 114

@ 114 per la relazione tra simmetrica e PSD vedi math.stackexchange.com/questions/516533/…

— Frank