Quale distribuzione comporta l'aggiunta di due distribuzioni Pareto

Mi chiedo quale sia la distribuzione risultante dall'aggiunta di due (o più) distribuzioni Pareto di tipo uno del modulo . Sperimentalmente, sembra una legge del potere a due modalità, asintotica rispetto alla differenza di alfa. $x^{-\alpha}$

distributions power-law pareto-distribution

— AMG
fonte

L'ultima osservazione fa sembrare che tu contempli le alfa che differiscono tra le distribuzioni. Hai intenzione di riparare i domini (aka "scale") delle distribuzioni o no? Un rapido calcolo di Mathematica indica che il PDF include, come uno dei suoi termini, il prodotto di e la differenza di una distribuzione Beta in una distribuzione Beta in . È unimodale per . Questo risultato non sarebbe valido per e più grandi , quindi ci sono dei limiti sui possibili valori dei parametri a cui sei interessato?

x^{- α - β}

$x^{-\alpha-\beta}$

(- α, 1 - β)

$(-\alpha,1-\beta)$

1 - 1 / x

$1-1/x$

1 / x

$1/x$

0 < α < β < 1

$0\lt\alpha\lt\beta\lt 1$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— whuber

Il seguente documento propone un'espansione del CDF e un modo per approssimarlo: docs.isfa.fr/labo/2012.16.pdf

— RUser4512

Modificato per essere un po 'più leggibile. Le distribuzioni si aggiungono per convoluzione. La distribuzione di Pareto è definita saggiamente come per e 0 per . La convoluzione di due funzioni di Pareto e è: $k^a x^{-a-1}$ $x\geq k$ $x<k$ $k^a x^{-a-1}$ $j^b x^{-b-1}$

un' (- 1)^{- B} B K^{un'} j^{B} Γ (un' + B + 1) \times ({(\frac{1}{t - j})}^{un' + B + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (B + 1, un' + B + 1; un' + B + 2; \frac{t}{t - j}) - {(\frac{1}{K})}^{un' + B + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (B + 1, un' + B + 1; un' + B + 2; \frac{t}{K})),

$a (-1)^{-b} b k^a j^b \Gamma (a+b+1) \times \\ \left(\left(\frac{1}{t-j}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{t-j}\right)- \\ \left(\frac{1}{k}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{k}\right)\right),$

dove e 0 per , che sebbene campo complesso all'interno di quel termine, è valutato al di fuori di esso. è Hypergeometric2F1 Regolarizzato qui nel codice Mathematica. Non tutte le scelte per i parametri daranno funzioni di densità valutate positive. Ecco un esempio di quando sono positivi. Per le due distribuzioni di Pareto, lasciare a = 2, b = 3, j = 0.1 e k = 0.3. e i loro grafici sono in blu per la funzione {k, a} e in arancione per la funzione {j, b}. La loro convoluzione è quindi graficamente che, quando si esaminano le code, assomiglia a dove il verde è la convoluzione. $j+k<x$ $x\leq j+k$ $\, _2\tilde{F}_1(w,x;y;z)$

Dalla tua domanda, potresti chiederti dell'aggiunta ordinaria di due distribuzioni Pareto. In tal caso, l'area sotto la curva è due, quindi la somma non è una funzione di densità, che deve avere un'area sotto la curva di una. Tuttavia, se questa è la domanda, allora per semplifica , che ha un limite di solo se , ed è 0 o infinito in tutti gli altri casi. In altre parole, la somma aritmetica di due distribuzioni Pareto ha solo code che sono la differenza tra e quando $\frac{a k^a t^{-a-1}+b j^b t^{-b-1}}{t^{a-b-1}}$ $b>a>0$ $t^{-2 a} \left(b t^a j^b+a k^a t^b\right)$ $a k^a$ $b=2a$ $a$ $b$ $b=2a$ e la somma aritmetica non è una funzione di densità e la somma dovrebbe essere ridimensionata per due probabilità, per essere una funzione di densità. Sebbene si verifichi l'aggiunta aritmetica di funzioni di densità per definire un'altra funzione di densità, è insolito. Un esempio di ciò si verifica in farmacocinetica, in cui la somma di due o più distribuzioni esponenziali viene utilizzata per definire una funzione di densità. Per farla breve, non è una cosa che consiglierei. $1=p+q$

Spero che questo risponda alla tua domanda. In caso contrario, obiettare alla mia risposta o aggiungere qualche informazione in più.

— Carl
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@gung Grazie per la pulizia. C'è qualche etichetta richiesta da me per questo? Si ottiene la reputazione assegnata per la pulizia o solo la buona volontà?

— Carl,

Prego, @Carl. Se la tua reputazione è <2k (?), Quando suggerisci una modifica ed è approvata, ottieni +2. Successivamente, le modifiche non ti danno nulla. Non ho bisogno del rappresentante, quindi non è un problema. La tua risposta qui è buona (+1), l'ho appena modificata per facilitarne la lettura.

— gung - Ripristina Monica