Sfondo: Nota: il mio set di dati e il codice r sono inclusi sotto il testo

Vorrei usare AIC per confrontare due modelli di effetti misti generati usando il pacchetto lme4 in R. Ogni modello ha un effetto fisso e un effetto casuale. L'effetto fisso differisce tra i modelli, ma l'effetto casuale rimane lo stesso tra i modelli. Ho scoperto che se uso REML = T, model2 ha il punteggio AIC più basso, ma se uso REML = F, model1 ha il punteggio AIC più basso.

Supporto per l'utilizzo di ML:

Zuur et al. (2009; PAGINA 122) suggeriscono che "Per confrontare i modelli con effetti fissi nidificati (ma con la stessa struttura casuale), è necessario utilizzare la stima ML e non REML." Questo mi indica che dovrei usare ML poiché i miei effetti casuali sono gli stessi in entrambi i modelli, ma i miei effetti fissi differiscono. [Zuur et al. 2009. Modelli di effetti misti ed estensioni in ecologia con R. Springer.]

Supporto per l'utilizzo di REML:

Tuttavia, noto che quando uso ML, la varianza residua associata agli effetti casuali differisce tra i due modelli (modello1 = 136.3; modello2 = 112.9), ma quando uso REML, è lo stesso tra i modelli (modello1 = modello2 = 151,5). Ciò implica per me che dovrei invece usare REML in modo che la varianza residua casuale rimanga la stessa tra i modelli con la stessa variabile casuale.

Domanda:

Non ha più senso usare REML che ML per confronti di modelli in cui gli effetti fissi cambiano e gli effetti casuali rimangono gli stessi? In caso contrario, puoi spiegare perché o indicarmi altre pubblicazioni che spiegano di più?

# Model2 "wins" if REML=T:
REMLmodel1 = lmer(Response ~ Fixed1 + (1|Random1),data,REML = T)
REMLmodel2 = lmer(Response ~ Fixed2 + (1|Random1),data,REML = T)
AIC(REMLmodel1,REMLmodel2)
summary(REMLmodel1)
summary(REMLmodel2)

# Model1 "wins" if REML=F:
MLmodel1 = lmer(Response ~ Fixed1 + (1|Random1),data,REML = F)
MLmodel2 = lmer(Response ~ Fixed2 + (1|Random1),data,REML = F)
AIC(MLmodel1,MLmodel2)
summary(MLmodel1)
summary(MLmodel2)

dataset:

Response    Fixed1  Fixed2  Random1
5.20    A   A   1
32.50   A   A   1
6.57    A   A   2
24.77   A   B   3
41.69   A   B   3
34.29   A   B   4
1.80    A   B   4
10.00   A   B   5
15.56   A   B   5
4.44    A   C   6
21.65   A   C   6
9.20    A   C   7
4.11    A   C   7
12.52   B   D   8
0.25    B   D   8
27.34   B   D   9
11.54   B   E   10
0.86    B   E   10
0.68    B   E   11
4.00    B   E   11

Zuur et al. E Faraway (dal commento di @ janhove sopra) hanno ragione; l'uso di metodi basati sulla verosimiglianza (incluso AIC) per confrontare due modelli con diversi effetti fissi che sono montati da REML porterà in genere a sciocchezze.

$X$$\tilde{X}$$\mathbb{R}^n$$\tilde{X}$$X$$B$

$\tilde{X} = XB$

$B$$X$$B$

$V$

$|V|^{-1/2}|\tilde{X}'V^{-1}\tilde{X}|^{-1/2}\exp((y-\tilde{X}\tilde{\beta})'V^{-1}(y-\tilde{X}\tilde{\beta})/2)$

$\beta = (\tilde{X}V^{-1}\tilde{X})^{-1}y$$X = \tilde{X}B$

$|B||V|^{-1/2}||X'V^{-1}X|^{-1/2}|\exp((y-X\bar{\beta})'V^{-1}(y-X\bar{\beta})/2)$

$\bar{\beta} = (XV^{-1}X)^{-1}y$$|B|$

$|B| \neq 1$

Questo è un esempio del perché REML non dovrebbe essere usato quando si confrontano modelli con diversi effetti fissi. REML, tuttavia, spesso stima meglio i parametri degli effetti casuali e pertanto a volte si consiglia di utilizzare ML per i confronti e REML per stimare un singolo modello (forse finale).