Se una serie temporale è stazionaria di secondo ordine, ciò significa che è rigorosamente stazionaria?

Un processo è strettamente stazionario se la distribuzione congiunta di è uguale alla distribuzione congiunta di per tutti , per tutti e per tutti . $X_t$ $X_{t_1},X_{t_2},...,X_{t_m}$ $X_{t_1+k},X_{t_2+k},...,X_{t_m+k}$ $m$ $k$ $t_1,t_2,...,t_m$

Un processo è stazionario di secondo ordine se la sua media è costante e la sua funzione di autocovarianza dipende solo dal ritardo.

Quindi il secondo ordine stazionario implica uno stazionario rigoroso?

Anche sotto il secondo ordine stazionario dice che non vengono fatte ipotesi su momenti più alti di quelli del primo e del secondo ordine. Il primo momento corrisponde alla media, il secondo momento corrisponde all'autocovarianza?

— Clarkson
fonte

Vedi anche questo post per una discussione correlata.

— javlacalle,

Quello che chiamate (o chiamate del corso) stazionario di secondo ordine è spesso chiamato debolmente stazionario o wide-sense-stazionario (WSS) o stazionario in senso lato. I processi WSS non sono necessariamente rigorosamente stazionari perché la media e l'autovarianza non sono, in generale, sufficienti per determinare la distribuzione. Naturalmente, un processo gaussiano o normale WSS (che significa che tutti gli sono normali variabili casuali) è rigorosamente stazionario perché la matrice media e la covarianza determinano la distribuzione congiunta.

X_{t}

$X_t$

— Dilip Sarwate,

Vedi anche Esempio di un processo stazionario del 2 ° ordine ma non strettamente stazionario . I due sono molto vicini all'essere duplicati. Questa domanda chiede anche se il secondo momento si riferisca all'autocovarianza, ma questa è in realtà una sotto-domanda ed è comunque gestita sul thread Che cos'è un processo stazionario di secondo ordine?

— Silverfish,

mathoverflow.net/questions/42141/…

— Robby McKilliam

La stazionarietà del secondo ordine è più debole della stazionarietà rigorosa. La stazionarietà del secondo ordine richiede che i momenti del primo e del secondo ordine (media, varianza e covarianze) siano costanti nel tempo e, quindi, non dipendano dal momento in cui si osserva il processo. In particolare, come dici tu, la covarianza dipende solo dall'ordine di ritardo, , ma non dal momento in cui viene misurata, per tutte . $k$ $Cov(x_t, x_{t-k}) = Cov(x_{t+h}, x_{t+h-k})$ $t$

In un rigoroso processo di stazionarietà, i momenti di tutti gli ordini rimangono costanti nel tempo, vale a dire, come dici tu, la distribuzione congiunta di è la stessa del giunto distribuzione di per tutti e . $X_{t1},X_{t2},...,X_{tm}$ $X_{t1+k}+X_{t2+k}+...+X_{tm+k}$ $t1,t2,...,tm$ $k$

Pertanto, la rigidità stazionaria implica la stazionarietà del secondo ordine, ma non è vero il contrario.

Modifica (modificato come risposta al commento di @ whuber)

La precedente dichiarazione è la comprensione generale della stazionarietà debole e forte. Sebbene l'idea che la stazionarietà nel senso debole non implichi la stazionarietà in un senso più forte possa essere d'accordo con l'intuizione, potrebbe non essere così semplice da provare, come sottolineato da whuber nel commento qui sotto. Può essere utile illustrare l'idea come suggerito in quel commento.

Come possiamo definire un processo stazionario di secondo ordine (media, varianza e covarianza costanti nel tempo) ma non stazionario in senso stretto (i momenti di ordine superiore dipendono dal tempo)?

Come suggerito da @whuber (se ho capito bene) possiamo concatenare lotti di osservazioni provenienti da diverse distribuzioni. Dobbiamo solo fare attenzione che quelle distribuzioni abbiano la stessa media e varianza (a questo punto consideriamo che sono campionate indipendentemente l'una dall'altra). Da un lato, possiamo ad esempio generare osservazioni dalla distribuzione dello studente con gradi di libertà. La media è zero e la varianza è . D'altra parte, possiamo prendere la distribuzione gaussiana con media zero e varianza . $t$ $5$ $5/(5-2)=5/3$ $5/3$

Entrambe le distribuzioni condividono la stessa media (zero) e la varianza ( ). Pertanto, la concatenazione di valori casuali da queste distribuzioni sarà, almeno, stazionaria di secondo ordine. Tuttavia, la curtosi in quei punti governati dalla distribuzione gaussiana sarà , mentre in quei momenti in cui i dati provengono dalla distribuzione dello Studente saranno . Pertanto, i dati generati in questo modo non sono stazionari in senso stretto perché i momenti del quarto ordine non sono costanti. $5/3$ $3$ $t$ $3+6/(5-4)=9$

Le covarianze sono anche costanti e uguali a zero, poiché abbiamo considerato osservazioni indipendenti. Questo può sembrare banale, quindi possiamo creare una certa dipendenza tra le osservazioni secondo il seguente modello autoregressivo.

y_{t} = ϕ y_{t - 1} + ϵ_{t}, | ϕ | < 1, t = 1, 2, . . ., 120

$y_t = \phi y_{t-1} + \epsilon_t \,, \quad |\phi| < 1 \,, \quad t = 1,2,...,120$ con

\begin{array}{rcl} ϵ_{t} \sim {\begin{cases} N (0, σ^{2} = 5 / 3) & if t \in [0, 20], [41, 60], [81, 100] \\ t_{5} & if t \in [21, 40], [61, 80], [101, 120] . \end{cases} \end{array}

$\begin{eqnarray} \epsilon_t \sim \left\{ \begin{array}{ll} N(0, \sigma^2=5/3) \quad & \hbox{if} \; t \in [0,20], [41,60], [81,100] \\ t_5 \quad & \hbox{if} \; t \in [21,40], [61,80], [101,120] \,. \end{array} \right. \end{eqnarray}$

$|\phi| < 1$ garantisce che la stazionarietà del secondo ordine sia soddisfatta.

Possiamo simulare alcune di queste serie nel software R e verificare se la media del campione, la varianza, la covarianza del primo ordine e la curtosi rimangono costanti tra lotti di osservazioni (il codice seguente utilizza e la dimensione del campione , la figura visualizza una delle serie simulate): $20$ $\phi=0.8$ $n=240$

# this function is required below
kurtosis <- function(x)
{
  n <- length(x)
  m1 <- sum(x)/n
  m2 <- sum((x - m1)^2)/n
  m3 <- sum((x - m1)^3)/n
  m4 <- sum((x - m1)^4)/n
  b1 <- (m3/m2^(3/2))^2
  (m4/m2^2)
}
# begin simulation
set.seed(123)
n <- 240
Mmeans <- Mvars <- Mcovs <- Mkurts <- matrix(nrow = 1000, ncol = n/20)
for (i in seq(nrow(Mmeans)))
{
  eps1 <- rnorm(n = n/2, sd = sqrt(5/3))
  eps2 <- rt(n = n/2, df = 5)
  eps <- c(eps1[1:20], eps2[1:20], eps1[21:40], eps2[21:40], eps1[41:60], eps2[41:60], 
    eps1[61:80], eps2[61:80], eps1[81:100], eps2[81:100], eps1[101:120], eps2[101:120])
  y <- arima.sim(n = n, model = list(order = c(1,0,0), ar = 0.8), innov = eps)

  ly <- split(y, gl(n/20, 20))
  Mmeans[i,] <- unlist(lapply(ly, mean))
  Mvars[i,] <- unlist(lapply(ly, var))
  Mcovs[i,] <- unlist(lapply(ly, function(x) 
    acf(x, lag.max = 1, type = "cov", plot = FALSE)$acf[2,,1]))
  Mkurts[i,] <- unlist(lapply(ly, kurtosis))
}

I risultati non sono quelli che mi aspettavo:

round(colMeans(Mmeans), 4)
#  [1]  0.0549 -0.0102 -0.0077 -0.0624 -0.0355 -0.0120  0.0191  0.0094 -0.0384
# [10]  0.0390 -0.0056 -0.0236
round(colMeans(Mvars), 4)
#  [1] 3.0430 3.0769 3.1963 3.1102 3.1551 3.2853 3.1344 3.2351 3.2053 3.1714
# [11] 3.1115 3.2148
round(colMeans(Mcovs), 4)
#  [1] 1.8417 1.8675 1.9571 1.8940 1.9175 2.0123 1.8905 1.9863 1.9653 1.9313
# [11] 1.8820 1.9491
round(colMeans(Mkurts), 4)
#  [1] 2.4603 2.5800 2.4576 2.5927 2.5048 2.6269 2.5251 2.5340 2.4762 2.5731
# [11] 2.5001 2.6279

La media, la varianza e la covarianza sono relativamente costanti tra i lotti come previsto per un processo stazionario di secondo ordine. Tuttavia, anche la curtosi rimane relativamente costante. Ci saremmo aspettati valori più alti della curtosi in quei lotti relativi ai prelievi dalla distribuzione dello Studente . Forse osservazioni non sono sufficienti per catturare i cambiamenti nella curtosi. Se non conoscessimo il processo di generazione dei dati di queste serie e avessimo esaminato le statistiche variabili, probabilmente concluderemmo che la serie è stazionaria almeno fino al quarto ordine. O non ho preso l'esempio giusto o alcune funzionalità della serie sono state mascherate per questa dimensione del campione. $t$ $20$

— javlacalle
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Sebbene tu abbia ragione, non hai adeguatamente dimostrato la conclusione finale. (Sembri presumere che i momenti più alti di un processo stazionario di secondo ordine possano essere prescritti indipendentemente dai suoi primi due momenti, ma che, sebbene in parte vero, non è ovvio.) Il modo più forte per dimostrare la tua conclusione sarebbe esibire un processo stazionario di secondo ordine ma non stazionario. Sebbene ciò sia facile da fare con un'adeguata sequenza di variabili casuali indipendenti, sarebbe interessante fornire un esempio con correlazioni non evanescenti in ogni caso.

— whuber

@whuber Ho modificato la mia risposta. Pensavo di aver capito il tuo punto, ma il mio tentativo di seguire la tua idea non era del tutto soddisfacente.

— javlacalle,

Forse questo aiuterà. Sia variabili di Bernoulli indipendenti con i parametri e , rispettivamente, e sia una sequenza di variabili normali iid, . Definire in cui quando è pari e altrimenti. La correlazione seriale è alta, è stazionaria di secondo ordine, ma non è stazionaria e non ergodica. Puoi generare una realizzazione con un codice simile . Eseguire e tracciare diverse simulazioni di questo tipo è istruttivo.

U_{i}, i = 0, 1

$U_i,i=0,1$

p \neq 1 / 2

$p\ne 1/2$

1 - p

$1-p$

(X_{i})

$(X_i)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

Y_{i} = U_{[i]} - p_{[i]} + X_{i}

$Y_i=U_{[i]}-p_{[i]}+X_i$

[i] = 0

$[i]=0$

i

$i$

[i] = 1

$[i]=1$ Rn <- 300; p <- 1/4; x <- rnorm(n, (rbinom(2,1,c(p,1-p))-c(p,1-p)), 1/8)

— whuber

Non ordinerei la rigida stazionarietà e covarianza-stazionarietà (anche se l'uso del termine "debole" anche per quest'ultimo punta purtroppo verso tale ordinamento). Il motivo è che la rigorosa stazionarietà non implica covarianza-stazionarietà: il processo può essere rigorosamente stazionario ma i momenti di distribuzione potrebbero non esistere o essere infiniti, nel qual caso questo processo rigorosamente stazionario non è covarianza-stazionario.

— Alecos Papadopoulos,

Non possiamo simulare direttamente la non esistenza di momenti . Crea un processo rigorosamente stazionario di Cauchy, per fare l'esempio banale. Il grafico apparirà perfettamente "stazionario", perché il comportamento del processo è ripetitivo, un comportamento che dipende dai momenti solo quando esistono . Se non esistono, il comportamento è descritto e dipende da altre caratteristiche della distribuzione.

— Alecos Papadopoulos,

Dal momento che non posso commentare, e ho un avvertimento utile alla risposta di @javlacalle , sono costretto a includere questa è una risposta separata:

@javlacalle l'ha scritto

la rigidità stazionaria implica la stazionarietà del secondo ordine, ma il contrario non è vero.

Tuttavia, una forte stazionarietà non implica una debole stazionarietà. Il motivo è che una forte stazionarietà non significa che il processo abbia necessariamente un secondo momento finito. Ad esempio, un processo iid con distribuzione Cauchy standard è rigorosamente stazionario ma non ha un secondo momento finito. In effetti, avere un secondo momento finito è una condizione necessaria e sufficiente per la debole stazionarietà di un processo fortemente stazionario.

Riferimento: Myers, DE, 1989. Essere o non essere. . . stazionario? Questa è la domanda. Matematica. Geol. 21, 347–362.

— ShayPal5
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