Come calcolare l'intervallo di confidenza della media dei mezzi?

Immagina di ripetere tre volte un esperimento. In ogni esperimento, raccogli misurazioni triplicate. I triplicati tendono ad essere abbastanza vicini tra loro, rispetto alle differenze tra i tre mezzi sperimentali. Calcolare la media è piuttosto semplice. Ma come si può calcolare un intervallo di confidenza per il grande significato?

Dati di esempio:

Esperimento 1: 34, 41, 39

Esperimento 2: 45, 51, 52

Esperimento 3: 29, 31, 35

Supponiamo che i valori replicati all'interno di un esperimento seguano una distribuzione gaussiana, così come i valori medi di ciascun esperimento. La SD di variazione all'interno di un esperimento è più piccola della SD tra i mezzi sperimentali. Supponiamo anche che non vi sia alcun ordinamento dei tre valori in ciascun esperimento. L'ordine da sinistra a destra dei tre valori in ciascuna riga è del tutto arbitrario.

L'approccio semplice consiste nel calcolare prima la media di ciascun esperimento: 38.0, 49.3 e 31.7, quindi calcolare la media e il suo intervallo di confidenza al 95% di questi tre valori. Usando questo metodo, la media grande è 39.7 con l'intervallo di confidenza del 95% che va da 17,4 a 61,9.

Il problema con questo approccio è che ignora totalmente la variazione tra i triplicati. Mi chiedo se non ci sia un buon modo per giustificare quella variazione.

Esiste un intervallo di confidenza esatto naturale per la nonna nel modello ANOVA unidirezionale casuale bilanciato In effetti, è facile verificare che la distribuzione dei mezzi osservati ˉ y i ∙ sia ˉ y i ∙ ∼ iid N ( μ , τ 2 ) con τ 2 = σ 2 b + σ 2

$$(y_{ij} \mid \mu_i) \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu_i, \sigma^2_w), \quad j=1,\ldots,J, \qquad \mu_i \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu, \sigma^2_b), \quad i=1,\ldots,I.$$ $\bar{y}_{i\bullet}$$\bar{y}_{i\bullet} \sim_{\text{iid}} {\cal N}(\mu, \tau^2)$ , ed è noto che la somma tra i quadratiSSbha distribuzioneSSb∼Jτ2χ 2 I - 1 ed è indipendente dalla media complessiva osservata ˉ y ∙∙∼N(μ,τ$\tau^2=\sigma^2_b+\frac{\sigma^2_w}{J}$$SS_b$ $$SS_b \sim J\tau^2\chi^2_{I-1}$$ . Quindi ˉ y ∙ ∙ - $$\bar y_{\bullet\bullet} \sim {\cal N}(\mu, \frac{\tau^2}{I})$$ ha unadistribuzionet diStudentconI-1gradi di libertà, da cui è facile ottenere un intervallo di confidenza esatto di circaμ. $$\frac{\bar y_{\bullet\bullet} - \mu}{\frac{1}{\sqrt{I}}\sqrt{\frac{SS_b}{J(I-1)}}}$$ $t$$I-1$$\mu$

Si noti che questo intervallo di confidenza non è altro che l'intervallo classico per una media gaussiana considerando solo il gruppo significa come osservazioni$\bar{y}_{i\bullet}$ . Quindi l'approccio semplice che menzioni:

L'approccio semplice consiste nel calcolare prima la media di ciascun esperimento: 38.0, 49.3 e 31.7, quindi calcolare la media e il suo intervallo di confidenza al 95% di questi tre valori. Usando questo metodo, la media grande è 39.7 con l'intervallo di confidenza del 95% che va da 17,4 a 61,9.

è giusto. E la tua intuizione sulla variazione ignorata:

Il problema con questo approccio è che ignora totalmente la variazione tra i triplicati. Mi chiedo se non ci sia un buon modo per giustificare quella variazione.

è sbagliato. Cito anche la correttezza di tale semplificazione in /stats//a/72578/8402

Aggiornamento 12/04/2014

Alcuni dettagli sono ora scritti sul mio blog: Ridurre un modello per ottenere intervalli di confidenza .

Questa è una domanda di stima all'interno di un modello lineare di effetti misti. Il problema è che la varianza della media generale è una somma ponderata di due componenti di varianza che devono essere stimati separatamente (tramite un ANOVA dei dati). Le stime hanno diversi gradi di libertà. Pertanto, sebbene si possa tentare di costruire un intervallo di confidenza per la media usando le solite formule di piccolo campione (Student t), è improbabile che raggiunga la sua copertura nominale perché le deviazioni dalla media non seguiranno esattamente una distribuzione t di Student.

Un recente articolo (2010) di Eva Jarosova, Stima con il modello lineare a effetti misti , tratta questo problema. (A partire dal 2015 non sembra più essere disponibile sul Web.) Nel contesto di un "piccolo" set di dati (anche così, circa tre volte più grande di questo), usa la simulazione per valutare due calcoli approssimativi di CI (il pozzo nota approssimazione di Satterthwaite e "metodo di Kenward-Roger"). Le sue conclusioni includono

Uno studio di simulazione ha rivelato che la qualità della stima dei parametri di covarianza e, di conseguenza, l'adeguamento degli intervalli di confidenza in piccoli campioni può essere piuttosto scadente ... Una scarsa stima può influenzare non solo il vero livello di confidenza degli intervalli convenzionali, ma può anche rendere impossibile l'adeguamento. È ovvio che anche per dati bilanciati tre tipi di intervalli [convenzionale, Satterthwaite, KR] possono differire sostanzialmente. Quando si osserva una notevole differenza tra gli intervalli convenzionali e quelli corretti, è necessario verificare gli errori standard delle stime dei parametri di covarianza. D'altra parte, quando le differenze tra [i tre] tipi di intervalli sono piccole, l'adeguamento sembra non essere necessario.

In breve, sembra essere un buon approccio

1. Calcola un CI convenzionale usando le stime dei componenti di varianza e fingendo che si applichi una distribuzione t.

2. Calcola anche almeno uno degli EC adattati.

3. Se i calcoli sono "vicini", accetta l'IC convenzionale. In caso contrario, segnalare che non vi sono dati sufficienti per produrre un elemento della configurazione affidabile.

Non puoi avere un intervallo di confidenza che risolva entrambi i tuoi problemi. Devi sceglierne uno. Puoi derivarne uno da un termine di errore quadrato medio all'interno della varianza dell'esperimento che ti consente di dire qualcosa su quanto accuratamente puoi stimare i valori all'interno dell'esperimento o puoi farlo tra e sarà tra gli esperimenti. Se ho appena fatto il primo, tenderei a volerlo tracciare attorno a 0 anziché attorno alla media generale perché non ti dice nulla sul valore medio effettivo, ma solo su un effetto (in questo caso 0). Oppure potresti semplicemente tracciare entrambi e descrivere ciò che fanno.

Hai una maniglia tra l'uno e l'altro. Per l'interno è proprio come calcolare il termine di errore in un ANOVA per far funzionare un MSE e da lì il SE per l'IC è solo sqrt (MSE / n) (n = 3 in questo caso).

Penso che l'IC per la media sia troppo ampio [17,62] anche per la gamma di dati originali.

Questi esperimenti sono MOLTO comuni in chimica. Ad esempio, nella certificazione di materiali di riferimento è necessario prelevare alcune bottiglie da un lotto intero in modo casuale e eseguire analisi replicate su ciascuna bottiglia. Come si calcola il valore di riferimento e la sua incertezza? Ci sono molti modi per farlo, ma il più sofisticato (e corretto, credo) sta applicando la meta-analisi o ML (Dersimonian-Laird, Vangel-Rukhin, ecc.)

Che dire delle stime bootstrap?