Stavo tentando di simulare l'iniezione di punti casuali all'interno di un cerchio, in modo tale che qualsiasi parte del cerchio abbia la stessa probabilità di avere un difetto. Mi aspettavo che il conteggio per area della distribuzione risultante seguisse una distribuzione di Poisson se suddividessi il cerchio in rettangoli di uguale area.

Poiché richiede solo il posizionamento di punti all'interno di un'area circolare, ho iniettato due distribuzioni casuali uniformi in coordinate polari: (raggio) e (angolo polare).$R$$\theta$

Ma dopo aver fatto questa iniezione, ottengo chiaramente più punti al centro del cerchio rispetto al bordo.

Quale sarebbe il modo corretto di eseguire questa iniezione attraverso il cerchio in modo tale che i punti vengano distribuiti casualmente attraverso il cirlce?

Volete che la proporzione di punti sia uniformemente proporzionale all'area piuttosto che alla distanza dall'origine. Poiché l'area è proporzionale alla distanza quadrata, genera raggi casuali uniformi e acquisisce le loro radici quadrate. Combina questo con un angolo polare uniforme.

Questo è veloce e semplice da codificare, efficiente nell'esecuzione (specialmente su una piattaforma parallela) e genera esattamente il numero prescritto di punti.

Esempio

Questo è un Rcodice funzionante per illustrare l'algoritmo.

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

È possibile utilizzare il campionamento di rifiuto . Ciò significa che possiamo campionare dalla distribuzione uniforme 2D e selezionare campioni che soddisfano le condizioni del disco.

Ecco un esempio

x=runif(1e4,-1,1)
y=runif(1e4,-1,1)

d=data.frame(x=x,y=y)
disc_sample=d[d$x^2+d$y^2<1,]
plot(disc_sample)

Ti darò una risposta n-dimensionale generale che funziona anche per il caso bidimensionale, ovviamente. In tre dimensioni un analogo di un disco è un volume di una palla solida (sfera).

Ci sono due approcci che ho intenzione di discutere. Uno di questi chiamerei "preciso" , e otterrai una soluzione completa con esso in R. Il secondo che io chiamo euristico , ed è solo l'idea, non viene fornita una soluzione completa.

Soluzione "precisa"

La mia soluzione si basa sulle opere di Marsaglia e Muller . Fondamentalmente, accade che il vettore gaussiano normalizzato alla sua norma ti dia i punti uniformemente distribuiti su un'ipersfera d-dimensionale:

$d$$1/d$

n <- 1e4
rho <- sqrt(runif(n))
# d - # of dimensions of hyperdisk
d = 2
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)
plot(x[,1], x[,2], pch=19, cex=0.6, col="#00000020")

Ecco uno snippet di codice per case 3d, ovvero una palla solida:

library(scatterplot3d)
n <- 1e3
# d - # of dimensions of hyperdisk

d=3
rho <- (runif(n))^(1/d)
r = matrix(rnorm(n*d),nrow=n,ncol=d)
x = r/rep(sqrt(rowSums(r^2))/rho,1)

scatterplot3d(x[,1], x[,2], x[,3])

Approccio euristico

$\sum_{i=1}^d x_i^2<R^2$

$\frac 1 {\sqrt{d+2}}$

Ecco una soluzione alternativa in R:

n <- 1e4
## r <- seq(0, 1, by=1/1000)
r <- runif(n)
rho <- sample(r, size=n, replace=T, prob=r)
theta <- runif(n, 0, 2*pi)
x <- rho * cos(theta)
y <- rho * sin(theta)
plot(x, y, pch=19, cex=0.6, col="#00000020")