Numeri previsti di colori distinti quando si disegna senza sostituzione

Si consideri un'urna contenente $N$ palline di $P$ colori diversi, con $p_i$ essendo la percentuale di palline di colore $i$ tra le $N$ sfere ( $\sum_i p_i = 1$ ). Traccio $n \leq N$ palline dall'urna senza sostituzione e guardo il numero $\gamma$ di diversi colori tra le palline che sono state disegnate. Qual è l'aspettativa di $\gamma$ in funzione di $n/N$ , a seconda delle proprietà adeguate della distribuzione $\mathbf{p}$ ?

Per dare più informazioni: se $N = P$ e $p_i = 1/P$ per tutti $i$ , vedrò sempre esattamente $n$ colori, cioè $\gamma = P (n/N)$ . Altrimenti, si può dimostrare che l'aspettativa di $\gamma$ è $>P(n/N)$ . Per $P$ e fissi $N$ , sembrerebbe che il fattore per cui moltiplicare $n/N$ sarebbe massimo quando $\mathbf{p}$ è uniforme; forse il numero atteso di colori diversi visto è limitato in funzione di $n/N$ e, ad esempio, l'entropia di $\mathbf{p}$ ?

Ciò sembra correlato al problema del collezionista di coupon, tranne per il fatto che il campionamento viene eseguito senza sostituzione e la distribuzione dei coupon non è uniforme.

probability expected-value coupon-collector-problem

— a3nm
fonte

Penso che questo problema possa essere dichiarato come: qual è il numero previsto di voci diverse da zero in un campione da una distribuzione ipergeometrica multivariata ?

— Kodiologo il

Supponiamo di avere $k$ colori dove $k \leq N$ . Permettetemi $b_i$ indicano il numero di colore palle $i$ così $\sum b_i = N$ . Let $B = \{b_1, \ldots, b_k\}$ e lasciare $E_i(B)$ notate l'insieme costituito dai $i$ dell'elemento sottoinsiemi di $B$ . Lascia che $Q_{n, c}$ indichi il numero di modi in cui possiamo scegliere $n$ elementi dell'insieme precedente in modo tale che il numero di colori diversi nell'insieme scelto sia $c$ . Per $c = 1$ la formula è semplice:

Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n})

$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$

Per $c = 2$ possiamo contare set di palline di dimensione $n$ che ha al massimo 2 colori meno il numero di set che hanno esattamente $1$ colore:

Q_{n, 2} = \sum_{E \in E_{2} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n}) - (\binom{k - 1}{1}) Q_{n, 1}

$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$

è il numero di modi in cui puoi aggiungere un colore a un colore fisso in modo tale da avere 2 colori se haicolori in totale. La formula generica è se haicolori fissi e vuoi farnecolori pur avendocolori in totale () è $\binom{k - 1}{1}$ $k$ $c_1$ $c_2$ $k$ $c_1 \leq c_2 \leq k$ . Ora abbiamo tutto per derivare la formula generica per: $\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$ $Q_{n, c}$

Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c} (B)} (\binom{\sum_{e \in E} e}{n}) - \sum_{i = 1}^{c - 1} (\binom{k - i}{c - i}) Q_{n, i}

$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$

La probabilità che tu abbia esattamente colori se disegni palline è: $c$ $n$

P_{n, c} = Q_{n, c} / (\binom{N}{n})

$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$

Si noti inoltre che se. $\binom{x}{y} = 0$ $y > x$

Probabilmente ci sono casi speciali in cui la formula può essere semplificata. Questa volta non mi sono preoccupato di trovare quelle semplificazioni.

Il valore atteso che stai cercando per il numero di colori dipendenti da è il seguente: $n$

γ_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i

$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$

— jakab922
fonte

Chiami

una probabilità, ma sembra che tu l'abbia definita come una somma di numeri interi. Hai dimenticato di dividere per qualcosa?

P_{n, c}

$P_{n,c}$

— Kodiologo il

Sì, immagino tu abbia ragione. Devi dividere per

, ma sfortunatamente non è ancora così. Se

eseguo il doppio conto nella formula sopra.

(\binom{N}{n})

$\binom{N}{n}$

E, F \in E_{c} (B)

$E, F \in E_{c}(B)$

E \cap F \neq \emptyset

$E \cap F \neq \emptyset$

— jakab922,

Sembra che la formula possa essere corretta usando il metodo del setaccio. Pubblicherò una correzione più tardi oggi.

— jakab922,