Perché la distribuzione campionaria della varianza è una distribuzione chi-quadrata?

La dichiarazione

La distribuzione campionaria della varianza del campione è una distribuzione chi-quadrato con grado di libertà uguale a $n-1$ , dove $n$ è la dimensione del campione (dato che la variabile casuale di interesse è normalmente distribuita).

fonte

La mia intuizione

In un certo senso ha un senso intuitivo per me 1) perché un test chi-quadrato assomiglia a una somma di quadrato e 2) perché una distribuzione Chi-quadrato è solo una somma della distribuzione normale quadrata. Tuttavia, non ne ho una buona comprensione.

Domanda

L'affermazione è vera? Perché?

— Remi.b
fonte

L'istruzione iniziale è falsa in generale (è falsa per due motivi separati). Qual è la tua fonte (manca il tuo link) e cosa dice in realtà?

— Glen_b -Restate Monica,

La mia domanda arriva anche alla reazione a una domanda-risposta in una classe di statistiche introduttiva per la quale l'accesso è protetto. La domanda è "Quale distribuzione è la distribuzione campionaria della varianza nella lunghezza dell'ala nelle mosche?" e la risposta è "distribuzione Chi-quadrata"

— Remi.b,

L'affermazione citata nel tuo primo commento è ancora falsa in generale. Il commento alla fine della fonte è vero (con i presupposti necessari): " quando i campioni di dimensione n sono presi da una distribuzione normale con varianza , la distribuzione campionaria di ha una distribuzione chi-quadro con n-1 gradi di libertà. $\sigma^2$ $(n-1)s^2/\sigma^2$ "... La risposta alla domanda nel tuo secondo commento sarà anche falsa - a meno che, suppongo, qualcuno abbia dimostrato che la lunghezza delle ali è normalmente distribuita. (Quali basi potrebbero esserci per affermare che ciò è vero?)

— Glen_b -Reststate Monica

Supponiamo quindi che le ali siano normalmente distribuite, quindi la distribuzione campionaria di

verrebbe distribuita al quadrato. Perché è così?

(n - 1) s^{2} / σ^{2}

$(n-1)s^2/\sigma^2$

— Remi.b,

Sei consapevole che una somma di quadrati di

iid N (0,1) variabili casuali è chi-quadrato con

df? O è quella la parte di cui cerchi la prova?

k

$k$

k

$k$

— Glen_b

[Presumo dalla discussione nella tua domanda che sei felice di accettare come fatto che se sono variabili casuali indipendenti identicamente distribuite allora .] $Z_i, i=1,2,\ldots,k$ $N(0,1)$ $\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

Formalmente, il risultato di cui hai bisogno deriva dal teorema di Cochran . (Anche se può essere mostrato in altri modi)

Meno formalmente, considera che se conoscessimo la media della popolazione e ne stimassimo la varianza (piuttosto che sulla media del campione): , quindi $s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ $s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$ $Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ $\frac{1}{n}$ $\chi^2_n$ random variable.

The fact that the sample mean is used, instead of the population mean ( $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ ) makes the sum of squares of deviations smaller, but in just such a way that $\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$ (about which, see Cochran's theorem). Hence, rather than $ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$ we now have $(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$ .

— Glen_b -Reinstate Monica
fonte

@Glen_b Can you give a reference for other proofs on this fact? I really want to know it.

— Henry.L

Which of several facts are you after proof of?

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b The only two methods besides Cochran-Madow Theorem of proving this fact that the sample variance and the sample mean is statistiacally independent with a chi-square distribution are:(1)Scheffe's canonical basis(Scheffe,1959)(2)Cumulant methods(Or mgfs, which is equivalent to it). If you know more methods, I really want to know them.

— Henry.L

One more comment I want to add is that altough sample mean is used, but sometimes we want a fixed power independent of the fixed variance, this method is replaced by Stein's two-stage method(1949).

— Henry.L

What I don't get about this answer, is that

\bar{X}

$\bar X$ is not independent of all the

X_{i}^{'} s

$X_i's$ , so how can we apply Cochran's theorem? it says that they all need to be independent.

— user56834