Quale rapporto di distribuzioni indipendenti fornisce una distribuzione normale?

12

Il rapporto tra due distribuzioni normali indipendenti fornisce una distribuzione di Cauchy. La distribuzione t è una distribuzione normale divisa per una distribuzione chi-quadrato indipendente. Il rapporto tra due distribuzioni chi-quadrate indipendenti fornisce una distribuzione F.

Sto cercando un rapporto di distribuzioni continue indipendenti che dia una variabile casuale normalmente distribuita con media e varianza ? $\mu$ $\sigma^2$

C'è probabilmente una serie infinita di possibili risposte. Puoi darmi alcune di queste possibili risposte? Apprezzerei particolarmente se le due distribuzioni indipendenti il cui rapporto viene calcolato sono uguali o almeno hanno una varianza simile.

— Remi.b
fonte

2

Mentre l' articolo di Wikipedia sulle distribuzioni dei rapporti non fornisce esempi del caso per cui si cerca, è una lettura interessante.

— Avraham,

2

Un caso piuttosto speciale è

X

$X$ una normale normale e

Y

$Y$ indipendentemente

\pm 1

$\pm1$ ciascuno con probabilità

\frac{1}{2}

$\frac12$ , quindi

X

$X$ ,

Y

$Y$ e

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$ ha la stessa media e varianza e

\frac{X}{Y}

$\frac{X}{Y}$ è normalmente distribuito.

— Henry,

1

" Il rapporto tra due distribuzioni chi-quadrate indipendenti fornisce una distribuzione F " --- beh, non del tutto. Fornisce una distribuzione beta-prime. Per ottenere una F devi ridimensionare ogni chi-quadrato in base al suo df.

— Glen_b -Restate Monica

2

Un certo numero di cose non mi convince affatto che sia necessariamente possibile soddisfare tutte le vostre condizioni.

— Glen_b

1

prendendo la generazione del metodo delle variabili normali (ad esempio Box-Muller) come esempio (che utilizza il metodo del cerchio) direi che non ci sono rapporti di distribuzioni uniformi che danno una distribuzione normale (supponendo che siano richieste distribuzioni uniformi)

— Nikos M.

5

Sia doveha una distribuzione esponenziale con mediaecon uguale probabilità. Sia $Y_1 = Z \sqrt{E}$ $E$ $2 \sigma^2$ $Z = \pm 1$ dove. Supponendo chesiano reciprocamente indipendenti, alloraè indipendente dae. Quindi abbiamo $Y_2 = 1 / \sqrt{B}$ $B \sim \mbox{Beta}(0.5, 0.5)$ $(Z, E, B)$ $Y_1$ $Y_2$ $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

indipendente da ; $Y_1$ $Y_2$
Entrambi continui; tale che
. $Y_1 / Y_2 \sim \text{Normal}(0, \sigma^2)$

Non ho capito come ottenere un . È più difficile vedere come farlo poiché il problema si riduce a trovare e che sono indipendenti in modo tale che $\text{Normal}(\mu, \sigma^2)$ $A$ $B$ che è un po 'più difficile che renderepereindipendenti.

\frac{A - B μ}{B} \sim Normal (0, 1)

$\frac{A - B \mu}{B} \sim \text{Normal}(0, 1)$

A / B \sim Normal (0, 1)

$A/B \sim \text{Normal}(0,1)$

A

$A$

B

$B$

— tipo
fonte

1

Se questo è vero, è fantastico.

— Neil G,

2

@NeilG è vero; il prodotto della mia beta ed esponenziale è una gamma con forma 1/2 (a causa di come puoi costruire la beta e una gamma indipendente usando le gamme). Quindi la radice quadrata di questo è sem-normale usando il fatto che il quadrato di una normale è chi-quadrato.

— ragazzo,

1

Recentemente abbiamo avuto una domanda che chiedeva un prodotto di due variabili che è distribuito normalmente (non riesco a ritrovarlo). Quella domanda aveva un commento o una risposta relativa alla trasformazione di Box-Muller che calcola una distribuzione normale (o più precisamente una distribuzione normale bivariata) dal prodotto di due variabili distribuite uniformi trasformate. Questa risposta si riferisce molto a questo, ma prende l'inverso di una di quelle variabili nella trasformazione di Box-Muller. cc: @kjetilbhalvorsen

— Sextus Empiricus il

1

Apprezzerei particolarmente se le due distribuzioni indipendenti il cui rapporto viene calcolato sono le stesse

Non v'è alcuna possibilità che un normale variabile può essere scritto come rapporto di due variabili indipendenti con la stessa distribuzione o famiglia di distribuzione (ad esempio la distribuzione F, che è il rapporto tra due scalato $\chi^2$ variabili distribuite o Cauchy distribuzione che è il rapporto tra due variabili distribuite normali con media zero).

Supponiamo che: per ogni $A, B \sim F$ dove $F$ è la stessa famiglia di distribuzione o distribuzione abbiamo
$X = \frac{A}{B} \sim N (μ, σ^{2})$ $X = \frac{A}{B} \sim N(\mu,\sigma^2)$
Dobbiamo anche essere in grado di invertire $A$ e $B$ (se una variabile normale può essere scritta come rapporto di due variabili indipendenti con la stessa famiglia di distribuzione o distribuzione, l'ordine può essere invertito)
$\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N (μ, σ^{2})$ $\frac{1}{X} = \frac{B}{A} \sim N(\mu,\sigma^2)$
Ma se $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ allora $X^{-1} \sim N(\mu,\sigma^2)$ non può essere vero (l'inverso di una variabile distribuita normale non è un'altra variabile distribuita normale).

Conclusione più ampia: se le variabili in qualsiasi famiglia di distribuzione $\mathcal{F}_X$ possono essere scritte come un rapporto di variabili in un'altra famiglia di distribuzione $\mathcal{F}_Y$ allora deve essere quella famiglia $\mathcal{F}_X$ chiusa a prendere il reciproco (cioè per qualsiasi variabile la cui distribuzione è in $\mathcal{F}_X$ la distribuzione del suo reciproco sarà anche in $\mathcal{F}_X$ ).

Ad esempio, anche l'inverso di una variabile distribuita di Cauchy è distribuita da Cauchy. Anche l'inverso di una variabile distribuita in F è distribuita in F.

Questo 'if' non è un 'iff', il contrario non è vero. Quando $X$ e $1/X$ fanno parte della stessa famiglia di distribuzione, potrebbe non essere sempre possibile scrivere come distribuzione del rapporto con nominatore e denominatore della stessa famiglia di distribuzione.

Controesempio: possiamo immaginare famiglie di distribuzione per le quali per ogni $X$ nella famiglia abbiamo $1/X$ nella stessa famiglia ma non abbiamo $P(X=1)=0$ . Ciò è in contraddizione con il fatto che per una distribuzione del rapporto in cui denominatore e nominatore hanno la stessa distribuzione, dobbiamo avere $P(X=1) \neq 0$ (e qualcosa di simile può essere espresso per distribuzioni continue come l'integrale lungo la linea X / Y = 1 in un diagramma a dispersione di X, Y ha una densità diversa da zero quando X e Y hanno la stessa distribuzione e sono indipendenti).

— Sesto Empirico
fonte

Non vederlo Mi sembra che solo perché

e

sono normali che non fanno

A / D

$A/D$

B / C

$B/C$

normale.

\frac{A / D}{B / C}

$\frac{A/D}{B/C}$

— Carl,

Meglio. Adesso ha senso.

— Carl

1

Non capisco come la seconda affermazione segua dalla prima. Se esiste qualche

tale che il loro quoziente è normale, perché ne consegue che anche il loro quoziente nell'altro ordine dovrebbe essere normale? La domanda non ha richiesto una famiglia di distribuzione in modo tale che il quoziente di tutte le coppie di elementi sia normale.

A, B

$A, B$

— Neil G

1

Non capisco cosa stai dicendo. Idealmente, la tua risposta sarebbe un argomento coerente senza richiedere a qualcuno di leggere le modifiche. In questo momento, sembra che la tua seconda affermazione ("anche noi dobbiamo avere") non segua dalla prima.

— Neil G,

1

@kjetilbhalvorsen come deve essere rivisto? Ho risposto alla parte della domanda che specifica "Gradirei in particolare se le due distribuzioni indipendenti il cui rapporto è calcolato sono le stesse" . Non vedo come la risposta del ragazzo si collega ad esso.

— Sesto Empirico

0

Bene, eccone uno ma non lo dimostrerò, lo mostrerò solo in simulazione.

Fai due distribuzioni beta con uguali parametri di forma grande (qui, ), sottrai 1/2 dai valori di uno di essi e chiamalo "numeratore". Questo ci dà un PDF che ha un intervallo massimo di $\text{Beta}(200,200)$ $n=40,000$ $x$ , ma poiché i parametri della forma sono così grandi, non arriviamo mai ai valori massimi dell'intervallo. Ecco un istogramma di"numeratore" $\left(-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2}\right)$ $n=40,000$

Quindi, chiamiamo il secondo denominatore della distribuzione beta "denominatore" senza sottrarre nulla, quindi ha il solito intervallo di distribuzione beta di e uno di questi assomiglia a questo $(0,1)$

Ancora una volta, poiché le forme sono così grandi, non ci avviciniamo alla gamma massima con i valori. Quindi tracciamo il quoziente come PDF con distribuzione normale sovrapposta. $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$

Ora in questo caso il risultato di distribuzione normale ha e test per la normalità simile a questa $\mu \to -0.0000204825,\sigma \to 0.0501789$

(\begin{array}{ccc} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.799786 & 0.481181 \\ Baringhaus-Henze & 1.40585 & 0.0852017 \\ Cramér-von Mises & 0.123145 & 0.482844 \\ Jarque-Bera ALM & 4.48103 & 0.106404 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00452328 & 0.386335 \\ Kuiper & 0.00798063 & 0.109127 \\ Mardia Combined & 4.48103 & 0.106404 \\ Mardia Kurtosis & 1.53849 & 0.123929 \\ Mardia Skewness & 2.09399 & 0.147879 \\ Pearson χ^{2} & 134.353 & 0.571925 \\ Watson U^{2} & 0.113831 & 0.211187 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.799786 & 0.481181 \\ \text{Baringhaus-Henze} & 1.40585 & 0.0852017 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.123145 & 0.482844 \\ \text{Jarque-Bera ALM} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00452328 & 0.386335 \\ \text{Kuiper} & 0.00798063 & 0.109127 \\ \text{Mardia Combined} & 4.48103 & 0.106404 \\ \text{Mardia Kurtosis} & 1.53849 & 0.123929 \\ \text{Mardia Skewness} & 2.09399 & 0.147879 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 134.353 & 0.571925 \\ \text{Watson }U^2 & 0.113831 & 0.211187 \\ \end{array} \right)$

In altre parole, non possiamo dimostrare che il rapporto non sia normale, anche se ci stiamo provando molto per farlo.

Ora perché? Intuizione da parte mia, che ho in sovrabbondanza. Prova lasciata al lettore, se esiste (forse attraverso il limite del metodo dei momenti, ma di nuovo è solo un'intuizione).

$\text{Beta}(20,20)$ $\text{Beta}(20,20)-\frac{1}{2}$ $t$ $\mu \to -0.000251208,\sigma \to 0.157665,\text{df}\to 33.0402$

\begin{array}{lll} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.275262 & 0.955502 \\ Cramér-von Mises & 0.0351108 & 0.956524 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00320936 & 0.804486 \\ Kuiper & 0.00556501 & 0.657146 \\ Pearson χ^{2} & 145.077 & 0.323168 \\ Watson U^{2} & 0.0351042 & 0.878202 \end{array}

$\begin{array}{l|ll} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \hline \text{Anderson-Darling} & 0.275262 & 0.955502 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0351108 & 0.956524 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00320936 & 0.804486 \\ \text{Kuiper} & 0.00556501 & 0.657146 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 145.077 & 0.323168 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0351042 & 0.878202 \\ \end{array}$

$\dfrac{\mathcal{N}(0,1)}{\mathcal{N}(10,1/1000)}\to$ $t$ $\mu \to -0.0000535722,\sigma \to 0.0992765,\text{df}\to 244.154$

(\begin{array}{ccc} Statistic & P-Value \\ Anderson-Darling & 0.501677 & 0.745102 \\ Cramér-von Mises & 0.0696824 & 0.753515 \\ Kolmogorov-Smirnov & 0.00355688 & 0.692225 \\ Kuiper & 0.00608382 & 0.501133 \\ Pearson χ^{2} & 142.88 & 0.370552 \\ Watson U^{2} & 0.0603207 & 0.590369 \end{array})

$\left( \begin{array}{ccc} \text{} & \text{Statistic} & \text{P-Value} \\ \text{Anderson-Darling} & 0.501677 & 0.745102 \\ \text{Cramér-von Mises} & 0.0696824 & 0.753515 \\ \text{Kolmogorov-Smirnov} & 0.00355688 & 0.692225 \\ \text{Kuiper} & 0.00608382 & 0.501133 \\ \text{Pearson }\chi ^2 & 142.88 & 0.370552 \\ \text{Watson }U^2 & 0.0603207 & 0.590369 \\ \end{array} \right)$

— Carl
fonte

5

Sei chiaramente molto vicino a una distribuzione normale. Tuttavia, non è affatto la stessa cosa che avere una distribuzione normale, e non credo che il rapporto tra una beta simmetrica centrata e una beta simmetrica ordinaria con gli stessi parametri sia mai effettivamente normale. Sarei molto interessato a sbagliarmi su questo però.

— Glen_b

2

La tua soluzione sicuramente non è normale. Puoi generalizzare questo approccio: prendi qualsiasi distribuzione approssimativamente normale e dividila per una distribuzione con la sua probabilità concentrata vicino a un numero diverso da zero. Il risultato (ovviamente) sarà vicino a Normale, ma non sarà ancora Normale. L'applicazione di una serie di test non è convincente perché tutto mostra che non hai generato campioni sufficientemente grandi per dimostrare la non normalità.

— whuber

1

10^{8}

$10^8$

2

Consentitemi di arrivare al nocciolo della questione, quindi: (1) smentire la normalità è un semplice esercizio di approssimazione integrale - non è necessario fornire qui i dettagli. Ad esempio , puoi facilmente provare che il 200esimo momento è infinito. (2) La tua risposta confonde le distribuzioni con i campioni. È questa confusione fondamentale a cui mi oppongo; è il motivo per cui penso che questa risposta sia più fuorviante che utile. A proposito, non ho scritto il mio ultimo commento alla leggera: ho eseguito quel test. L'ho fatto non con un supercomputer, ma con una workstation PC vecchia di dieci anni, e l'intero processo ha richiesto solo pochi secondi.

— whuber

1

@whuber Quale approssimazione stai testando? Il primo, il secondo o il terzo? A proposito, se sono solo approssimazioni, così sia. Suggerisco solo che nel caso limite potrebbero essere esatti. Tutte le statistiche sono approssimative, quindi non condivido la tua apprensione.

— Carl,

-3

$X_1^G,X_2^G$ $X^C_{\gamma}$

\frac{X_{1}^{G}}{X_{2}^{G}} = X_{γ}^{C}

$\frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma}$

$X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$ $\gamma$

X_{1}^{G} = X_{2}^{G} / X_{1 / γ}^{C}

$X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma}$

$\mu$ $\mu$ $\sigma$ $\gamma\rightarrow1/\gamma$

— eleggere
fonte

4

Verifica le tue ipotesi, mediante calcolo esplicito del rapporto o tramite simulazione. Entrambi mostreranno che il tuo reclamo non è corretto. L'errore sta nel presupporre che i rapporti di distribuzione possano essere "cancellati" per "risolvere" il numeratore.

— whuber

1

X_{2}^{G}

$X_2^G$