Calcolo dei parametri di una distribuzione Beta utilizzando la media e la varianza

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Come posso calcolare i parametri e per una distribuzione Beta se conosco la media e la varianza che voglio avere nella distribuzione? Esempi di un comando R per fare ciò sarebbero di grande aiuto. $\alpha$ $\beta$

r distributions estimation beta-distribution

— Dave Kincaid
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4

Si noti che il pacchetto betareg in R utilizza una parametrizzazione alternativa (con la media,

, e la precisione,

- e quindi la varianza è

) che ovvia alla necessità di questi calcoli.

μ = α / α + β

$\mu=\alpha/\alpha+\beta$

ϕ = α + β

$\phi=\alpha+\beta$

μ (1 - μ) / (1 + ϕ)

$\mu(1-\mu)/(1+\phi)$

— gung - Ripristina Monica

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Ho impostato e

μ = \frac{α}{α + β}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

e risolto per

e

. I miei risultati mostrano che

σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

α

$\alpha$

β

$\beta$

e

α = (\frac{1 - μ}{σ^{2}} - \frac{1}{μ}) μ^{2}

$\alpha=\left(\frac{1-\mu}{\sigma^2}-\frac{1}{\mu}\right)\mu^2$

β = α (\frac{1}{μ} - 1)

$\beta=\alpha\left(\frac{1}{\mu}-1\right)$

Ho scritto un codice R per stimare i parametri della distribuzione Beta da una data media, mu e varianza, var:

estBetaParams <- function(mu, var) {
  alpha <- ((1 - mu) / var - 1 / mu) * mu ^ 2
  beta <- alpha * (1 / mu - 1)
  return(params = list(alpha = alpha, beta = beta))
}

C'è stata una certa confusione attorno ai limiti di e per ogni data distribuzione Beta, quindi chiariamolo qui. $\mu$ $\sigma^2$

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\in\left(0, 1\right)$
$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{\left(\alpha+\beta\right)^2\left(\alpha+\beta+1\right)}=\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{\alpha+\beta+1}<\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{1}=\mu\left(1-\mu\right)\in\left(0,0.5^2\right)$

— assumednormal
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2

@stan Questo ti darà la distribuzione Beta che ha la stessa media e varianza dei tuoi dati. Non ti dirà in che misura la distribuzione si adatta ai dati. Prova il test di Kolmogorov-Smirnov .

— assunto normale il

4

Quando chiamo questa funzione con estBetaParams(0.06657, 0.1)ricevo alpha=-0.025, beta=-0.35. Com'è possibile?

— Amelio Vazquez-Reina

1

Questi calcoli funzioneranno solo se la varianza è inferiore alla media * (1 media).

— danno

2

@danno - È sempre il caso che

. Per vedere questo, riscrivi la varianza come

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2\leq\mu\left(1-\mu\right)$

. Poiché

,

.

σ^{2} = \frac{μ (1 - μ)}{α + β + 1}

$\sigma^2=\frac{\mu\left(1-\mu\right)}{\alpha+\beta+1}$

α + β + 1 \geq 1

$\alpha+\beta+1\geq1$

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2\leq\mu\left(1-\mu\right)$

— assunto il

1

@ AmelioVazquez-Reina Se dai i tuoi dati originali, mi aspetto che sarà presto evidente il motivo per cui una distribuzione beta non è adatta.

— Glen_b,

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Ecco un modo generico per risolvere questi tipi di problemi, usando Maple invece di R. Funziona anche con altre distribuzioni:

with(Statistics):
eq1 := mu = Mean(BetaDistribution(alpha, beta)):
eq2 := sigma^2 = Variance(BetaDistribution(alpha, beta)):
solve([eq1, eq2], [alpha, beta]);

che porta alla soluzione

\begin{aligned} α & = - \frac{μ (σ^{2} + μ^{2} - μ)}{σ^{2}} \\ β & = \frac{(σ^{2} + μ^{2} - μ) (μ - 1)}{σ^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align*} \alpha &= - \frac{\mu (\sigma^2 + \mu^2 - \mu)}{\sigma^2} \\ \beta &= \frac{(\sigma^2 + \mu^2 - \mu) (\mu - 1)}{\sigma^2}. \end{align*}$

Ciò equivale alla soluzione di Max.

— Erik P.
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5

In R, la distribuzione beta con i parametri e ha densità $\textbf{shape1} = a$ $\textbf{shape2} = b$

, $f(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}$

$a > 0$ $b >0$ $0 < x < 1$ .

In R, puoi calcolarlo per

dbeta (x, shape1 = a, shape2 = b)

$E(X) = \frac{a}{a+b}$ $V(X) = \frac{ab}{(a + b)^2 (a + b + 1)}$ . Quindi, ora puoi seguire la risposta di Nick Sabbe.

Buon lavoro!

modificare

Io trovo:

$a = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu^2$

e

$b = \left( \frac{1 - \mu}{V} - \frac{1}{\mu} \right) \mu (1 - \mu)$

$\mu=E(X)$ $V=V(X)$

— OCRAM
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Mi rendo conto che la mia risposta è molto simile alle altre. Tuttavia, credo che sia sempre un buon punto per prima cosa controllare quale parametrizzazione R usa ....

— ocram

2

μ = \frac{α}{α + β}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$

β = α (\frac{1}{μ} - 1)

$\beta=\alpha(\frac{1}{\mu}-1)$

— Nick Sabbe
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1

Wikipedia ha una sezione sulla stima dei parametri che ti consente di evitare troppo lavoro :)

— rm999

1

$[a,b]$

μ = \frac{un' β + B α}{α + β}, σ^{2} = \frac{α β {(B - un')}^{2}}{{(α + β)}^{2} (1 + α + β)}

$\mu=\frac{a\beta+b\alpha}{\alpha+\beta},\quad\sigma^{2}=\frac{\alpha\beta\left(b-a\right)^{2}}{\left(\alpha+\beta\right)^{2}\left(1+\alpha+\beta\right)}$

che può essere invertito per dare:

α = λ \frac{μ - un'}{B - un'}, β = λ \frac{B - μ}{B - un'}

$\alpha=\lambda\frac{\mu-a}{b-a},\quad\beta=\lambda\frac{b-\mu}{b-a}$

dove

λ = \frac{(μ - un') (B - μ)}{σ^{2}} - 1

$\lambda=\frac{\left(\mu-a\right)\left(b-\mu\right)}{\sigma^{2}}-1$

— Becko
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Un utente ha tentato di lasciare il seguente commento: "c'è un errore da qualche parte qui. La formulazione corrente non restituisce la varianza corretta".

— Silverfish

1

$\mu$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$

β = \frac{α (1 - μ)}{μ}

$\beta=\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}$

α

$\alpha$

σ^{2} = \frac{\frac{α^{2} (1 - μ)}{μ}}{(α + \frac{α (1 - μ)}{μ})^{2} (α + \frac{α (1 - μ)}{μ} + 1)}

$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu})^2(\alpha+\frac{\alpha(1-\mu)}{\mu}+1)}$

σ^{2} = \frac{\frac{α^{2} (1 - μ)}{μ}}{(\frac{α}{μ})^{2} \frac{α + μ}{μ}}

$\sigma^2=\frac{\frac{\alpha^2(1-\mu)}{\mu}}{(\frac{\alpha}{\mu})^2\frac{\alpha+\mu}{\mu}}$

σ^{2} = \frac{(1 - μ) μ^{2}}{α + μ}

$\sigma^2=\frac{(1-\mu)\mu^2}{\alpha+\mu}$

α

$\alpha$

— Derivazione ubriaca
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Stavo cercando Python, ma mi sono imbattuto in questo. Quindi questo sarebbe utile per altri come me.

Ecco un codice Python per stimare i parametri beta (secondo le equazioni fornite sopra):

# estimate parameters of beta dist.
def getAlphaBeta(mu, sigma):
    alpha = mu**2 * ((1 - mu) / sigma**2 - 1 / mu)

    beta = alpha * (1 / mu - 1)

    return {"alpha": 0.5, "beta": 0.1}


print(getAlphaBeta(0.5, 0.1)  # {alpha: 12, beta: 12}

$\alpha$ $\beta$ scipy.stats.beta

— mythicalcoder
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