Quali sono gli effetti parziali medi?

Qualcuno conosce il significato degli effetti parziali medi? Che cos'è esattamente e come posso calcolarli? Ecco un riferimento che potrebbe aiutare.

Non credo che ci sia consenso sulla terminologia qui, ma quanto segue è ciò che penso che la maggior parte delle persone abbia in mente quando qualcuno dice "effetto parziale medio" o "effetto marginale medio".

Supponiamo, per concretezza, che stiamo analizzando una popolazione di persone. Considera il modello lineare dove sono osservate variabili casuali scalari e è una variabile casuale scalare non osservata. Supponiamo che sia una costante sconosciuta. Supponiamo che questo sia un modello strutturale, nel senso che ha un'interpretazione causale. Quindi, se potessimo scegliere una persona fuori dalla popolazione e aumentare il valore di di 1 unità, il loro valore di aumenterebbe di . Quindi viene chiamato l' effetto marginale o causale di su

$$Y = \beta X + U,$$ $(Y,X)$$U$$\beta$$X$$Y$$\beta$$\beta$X Y$X$$Y$.

Ora, supponendo che sia una costante significa che, indipendentemente da quale persona scegliamo dalla popolazione, un aumento di un'unità di ha lo stesso effetto su --- aumenta di di . Questo è chiaramente restrittivo. Possiamo rilassare questo presupposto dell'effetto costante supponendo che stesso sia una variabile casuale --- ogni persona ha un valore diverso di . Di conseguenza, esiste un'intera distribuzione di effetti marginali, la distribuzione di . La media di questa distribuzione, , è chiamata effetto marginale medio$\beta$$X$$Y$$Y$$\beta$$\beta$$\beta$$\beta$$E(\beta)$X Y(AME) o effetto parziale medio. Se dovessimo aumentare il valore di tutti di di un'unità, la variazione media in è data dall'AME.$X$$Y$

In alternativa, considera il modello non lineare

$$Y = m(X,U),$$ dove di nuovo $(Y,X)$ sono osservabili scalari e $U$ è uno scalare non osservabile, e $m$ è una funzione sconosciuta (supponiamo che sia differenziabile per semplicità). Qui l'effetto causale / marginale di $X$ su $Y$ è $\partial m(x,u)/\partial x$ . Questo valore può dipendere dal valore di $U$. Così, anche se guardiamo a persone che hanno tutti lo stesso valore osservato di $X$ , un piccolo aumento del $X$ non sarà necessariamente aumenterà $Y$ dello stesso importo, perché ogni persona può avere un diverso valore di $U$ . Quindi c'è una distribuzione di effetti marginali, proprio come nel modello lineare sopra. E, ancora una volta, possiamo guardare la media di questa distribuzione: $$E_{U \mid X} \left[ \frac{\partial m(x,U)}{\partial x} \mid X=x \right].$$ Questa media è chiamata effetto marginale medio, dato$X=x$. Se assumiamo che$U$sia indipendente da$X$, come a volte si fa, allora l'AME in$X=x$è semplicemente $$E_{U} \left[ \frac{\partial m(x,U)}{\partial x} \right].$$ In generale, un effetto marginale medio è solo un derivato (o talvolta una differenza finita), di una funzione strutturale (come$m(x,u)$o$\beta x + u$) rispetto a una variabile osservata$X$, mediata su un non osservato variabile$U$, forse all'interno di un particolare sottogruppo di persone con$X=x$. La forma precisa di questo effetto dipende dal modello specifico in esame.

Si noti inoltre che questi oggetti potrebbero anche essere chiamati effetti di trattamento medi, soprattutto se si considera una differenza finita. Ad esempio, la differenza della funzione strutturale in $X=1$ ('trattata') e in $X=0$ ('non trattata'), mediata sui non osservabili.

$U$$X$$Y$$X=x$$X$$U$$Y$$X=x$$U \mid X=x$

Gli effetti parziali medi (APE) sono il contributo di ciascuna variabile sulla scala dei risultati, in base alle altre variabili coinvolte nella trasformazione della funzione di collegamento del predittore lineare

Gli effetti marginali medi (AME) sono il contributo marginale di ciascuna variabile sulla scala del predittore lineare .

Questa documentazione dal marginspacchetto per R è abbastanza utile per la comprensione.