Stima della massima verosimiglianza per il minimo delle distribuzioni esponenziali

Sono bloccato su come risolvere questo problema.

Quindi, abbiamo due sequenze di variabili casuali, e per . Ora, e sono distribuzioni esponenziali indipendenti con parametri e . Tuttavia, invece di osservare e , osserviamo invece e . $X_i$ $Y_i$ $i=1,...,n$ $X$ $Y$ $\lambda$ $\mu$ $X$ $Y$ $Z$ $W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ e $W=1$ se $Z_i=X_i$ e 0 se $Z_i=Y_i$ . Devo trovare chiuso le forme per gli stimatori di massima verosimiglianza dei $\lambda$ e $\mu$ sulla base di $Z$ e $W$ . Inoltre, dobbiamo dimostrare che si tratta di massimi globali.

Ora so che il minimo di due esponenziali indipendenti è esso stesso esponenziale, con il tasso uguale alla somma dei tassi, quindi sappiamo che $Z$ è esponenziale con il parametro $\lambda+\mu$ . Quindi il nostro stimatore della massima verosimiglianza è: $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ .

Ma sono bloccato con dove andare da qui. So che $W$ è una distribuzione di Bernoulli con il parametro $p=P(Z_i=X_i)$ , ma non so come fare per convertirlo in un'istruzione su uno dei parametri. Ad esempio, cosa stima l'MLE $\bar{W}$ in termini di $\lambda$ e / o $\mu$ ? Capisco che se $Z_i=X_i$ , allora $\mu=0$ , ma sto facendo fatica a capire come elaborare qualsiasi affermazione algebrica, qui.

UPDATE 1: Così mi è stato detto nei commenti per ricavare la probabilità per la distribuzione congiunta di $Z$ e $W$ .

Quindi dove . Corretta? Non so in che altro modo derivare una distribuzione congiunta in questo caso, poiché e non sono indipendenti. $f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$ $p=P(Z_i=X_i)$ $Z$ $W$

Quindi questo ci dà, , secondo la definizione di sopra. Ma adesso cosa? Questo non mi porta da nessuna parte. Se passo attraverso i passaggi del calcolo della probabilità, ottengo: (usando e come dimensioni del campione per ogni parte della miscela ...) $f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$ $W$ $m$ $n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Se prendo le derivate parziali, questo mi dice che il mio MLE stime per e sono solo la media del 's subordinata . Questo è, $\lambda$ $\mu$ $Z$ $W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

— Ryan Simmons
fonte

Avendo appena risposto a una domanda MLE simile oggi, posso indirizzarti verso quella soluzione per alcune idee? La relazione tra le domande è che i tuoi dati si suddividono naturalmente anche in due gruppi disgiunti: quelli in cui e quelli in cui . Tutto si riduce a scrivere la probabilità di un'osservazione della forma ; la simmetria tra e , e , produce immediatamente la probabilità per i dati del modulo e poi sei fuori e corri.

W = 0

$W=0$

W = 1

$W=1$

(Z, W) = (z, 0)

$(Z,W)=(z,0)$

X

$X$

Y

$Y$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

(z, 1)

$(z,1)$

— whuber

Non abbiate fretta di scrivere la massima probabilità! Innanzitutto, esprimere la distribuzione congiunta di , quindi dedurre la probabilità associata al campione di , che risulta essere in forma chiusa grazie all'assunto esponenziale. Quindi e solo allora puoi provare a massimizzare la funzione e quindi derivare la massima probabilità.

(Z, W)

$(Z,W)$

(Z_{i}, W) =_{i})

$(Z_i,W)=_i)$

— Xi'an,

@whuber: (+1) è piuttosto semplice e implica la separazione tra e ma entrambi i gruppi coinvolgono sia che , poiché forniscono informazioni su entrambi e , poiché .

(z_{i}, 1)

$(z_i,1)$

(z_{i}, 0)

$(z_i,0)$

μ

$\mu$

λ

$\lambda$

X_{i}

$X_i$

Y_{i}

$Y_i$

W_{i} = I (X_{i} < Y_{i})

$W_i=\mathbb{I}(X_i<Y_i)$

— Xi'an,

@ Xi'an Esatto - e i parallelismi con l'esempio di teoria normale che collego per continuare a tenere, perché entrambi i gruppi forniscono informazioni sul parametro comune (la scala), la cui stima implicherà quindi il "raggruppamento" dei dati dai gruppi. Qui si vedrà che ci dice come la stima di (il tasso, o scala inversa, per ) dovrebbe essere suddivisa in stime separate di e .

σ

$\sigma$

\bar{W}

$\bar W$

λ + μ

$\lambda+\mu$

Z

$Z$

λ

$\lambda$

μ

$\mu$

— whuber

Ho letto l'altro thread, whuber, ma sinceramente non capisco come applicarlo a questo esempio. Z e W non sono indipendenti, quindi come posso derivare la distribuzione congiunta?

— Ryan Simmons,

Non ho abbastanza punti per commentare, quindi scriverò qui. Penso che il problema che pubblichi possa essere visualizzato dal punto di vista dell'analisi di sopravvivenza, se si considera quanto segue:

$X_i$ : vero tempo di sopravvivenza,

$Y_i$ : tempo di censura,

Entrambi hanno una distribuzione esponenziale con e indipendenti. Quindi è il tempo di sopravvivenza osservato e l'indicatore di censura. $X$ $Y$ $Z_i$ $W_i$

Se hai familiarità con l'analisi della sopravvivenza, credo che tu possa iniziare da questo punto.

Note: Una buona fonte: analisi dei dati di sopravvivenza di DRCox e D.Oakes

Di seguito è riportato un esempio: supponendo che il pdf della distribuzione del tempo di sopravvivenza sia . Quindi la funzione di sopravvivenza è: . E la probabilità logaritmica è: $f(t)=\rho e^{-\rho t}$ $S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

con la somma delle persone senza censura ( ) e delle persone censurate ( ) rispettivamente. $u$ $c$

A causa del fatto che dove h (t) è la funzione di rischio, questo può essere scritto: $f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

E lo stimatore di massima verosimiglianza di è: $\hat{\rho}$ $\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ dove è il numero totale di casi di $d$ $W_i=1$

— jujae
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