Cosa spiega un diagramma variabile aggiunto (diagramma di regressione parziale) in una regressione multipla?

Ho un modello di set di dati di film e ho usato la regressione:

model <- lm(imdbVotes ~ imdbRating + tomatoRating + tomatoUserReviews+ I(genre1 ** 3.0) +I(genre2 ** 2.0)+I(genre3 ** 1.0), data = movies)
library(ggplot2)
res <- qplot(fitted(model), resid(model))
res+geom_hline(yintercept=0)

Che ha dato l'output:

Ora ho provato a lavorare qualcosa chiamato il diagramma di variabili aggiunte per la prima volta e ho ottenuto il seguente output:

car::avPlots(model, id.n=2, id.cex=0.7)

Il problema è che ho cercato di capire il grafico delle variabili aggiunte usando google ma non sono riuscito a capirne la profondità, visto il grafico ho capito che il suo tipo di rappresentazione dell'inclinazione si basa su ciascuna variabile di input correlata all'output.

Posso avere qualche dettaglio in più come giustificare la normalizzazione dei dati?

Per l'illustrazione prenderò un modello di regressione meno complesso $Y = \beta_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \epsilon$ cui le variabili predittive $X_2$ e $X_3$ possono essere correlate. Supponiamo che le pendenze $\beta_2$ e $\beta_3$ siano entrambe positive, quindi possiamo dire che (i) $Y$ aumenta all'aumentare di $X_2$ , se $X_3$ viene mantenuto costante, poiché $\beta_2$ è positivo; (ii) $Y$aumenta all'aumentare di $X_3$ , se $X_2$ viene mantenuto costante, poiché $\beta_3$ è positivo.

Si noti che è importante interpretare più coefficienti di regressione considerando ciò che accade quando le altre variabili vengono mantenute costanti ("ceteris paribus"). Supponiamo che abbia appena regredito $Y$ contro $X_2$ con un modello $Y = \beta_1' + \beta_2' X_2 + \epsilon'$ . La mia stima per il coefficiente di pendenza $\beta_2'$ , che misura l'effetto su $Y$ di un aumento di un'unità di $X_2$ senza tenere $X_3$ costante, potrebbe essere diversa dalla mia stima di $\beta_2$ dalla regressione multipla - che misura anche l'effetto su $Y$ di un aumento di un'unità di $X_2$ , ma fa presa $X_3$ costante. Il problema con la mia stima $\hat{\beta_2'}$ è che soffre di distorsione da variabile omessa se $X_2$ e $X_3$ sono correlati.

Per capire perché, immagina che $X_2$ e $X_3$ siano negativamente correlati. Ora, quando aumento $X_2$ di un'unità, so che il valore medio di $Y$ dovrebbe aumentare da $\beta_2 > 0$ . Ma come $X_2$ aumenta, se non teniamo $X_3$ costante allora $X_3$ tende a diminuire, e poiché $\beta_3 > 0$ tenderà a ridurre il valore medio di $Y$ . Quindi l'effetto complessivo di un aumento di un'unità di $X_2$ apparirà inferiore se consento 3$X_3$ varia anche, quindi $\beta_2' < \beta_2$ . Le cose peggiorano più fortemente $X_2$ e $X_3$ sono correlate , e tanto maggiore è l'effetto di $X_3$ attraverso $\beta_3$ - in un caso molto grave possiamo persino trovare $\beta_2' < 0$ anche se sappiamo che, ceteris paribus, $X_2$ ha un'influenza positiva su $Y$ !

Spero che ora puoi capire perché disegnare un grafico di $Y$ contro $X_2$ sarebbe un modo scadente per visualizzare la relazione tra $Y$ e $X_2$ nel tuo modello. Nel mio esempio, il tuo occhio sarà attratto da una linea di best fit con pendenza $\hat{\beta_2'}$ che non riflette l' $\hat{\beta_2}$ dal modello di regressione. Nel peggiore dei casi, il tuo modello potrebbe prevedere che $Y$ aumenta all'aumentare di $X_2$ (con altre variabili mantenute costanti) e tuttavia i punti sul grafico suggeriscono che $Y$ diminuisce all'aumentare di $X_2$ .

Il problema è che nel semplice grafico di $Y$ rispetto a $X_2$ , le altre variabili non vengono mantenute costanti. Questa è la visione cruciale del vantaggio di un grafico variabile aggiunto (chiamato anche diagramma di regressione parziale) - utilizza il teorema di Frisch-Waugh-Lovell per "parzializzare" l'effetto di altri predittori. Gli assi orizzontale e verticale sulla trama sono forse più facilmente comprensibili * come " $X_2$ dopo che sono stati calcolati altri predittori" e " $Y$ dopo che sono stati calcolati altri predittori". Ora puoi guardare la relazione tra $Y$ e $X_2$ dopo che tutti gli altri predittori sono stati presi in considerazione. Quindi, ad esempio, la pendenza che puoi vedere in ogni grafico ora riflette i coefficienti di regressione parziale del tuo modello di regressione multipla originale.

Gran parte del valore di un diagramma variabile aggiunto arriva nella fase diagnostica della regressione, soprattutto perché i residui nel diagramma variabile aggiunto sono precisamente i residui della regressione multipla originale. Ciò significa che i valori anomali e l'eteroschedasticità possono essere identificati in modo simile a quando si osserva la trama di un modello di regressione semplice anziché multiplo. Si possono anche vedere punti influenti: questo è utile nella regressione multipla poiché alcuni punti influenti non sono evidenti nei dati originali prima di prendere in considerazione le altre variabili. Nel mio esempio, un valore $X_2$ moderatamente grande potrebbe non apparire fuori posto nella tabella dei dati, ma se anche il valore $X_3$ è grande nonostante $X_2$ e 3$X_3$ being negatively correlated then the combination is rare. "Accounting for other predictors", that $X_2$ value is unusually large and will stick out more prominently on your added variable plot.

$*$ Più tecnicamente sarebbero i residui della seconda esecuzione di altre due regressioni multiple: i residui della regressione di$Y$ contro tutti i predittori diversi da$X_2$ vanno sull'asse verticale, mentre i residui della regressione$X_2$ contro tutti gli altri predittori vanno sull'asse orizzontale. Questo è ciòche ti diconole leggende di "$Y$ dato ad altri" e "$X_2$ dato ad altri". Poiché la media residua di entrambe queste regressioni è zero, il punto medio di ($X_2$ dato ad altri,$Y$ given others) will just be (0, 0) which explains why the regression line in the added variable plot always goes through the origin. But I often find that mentioning the axes are just residuals from other regressions confuses people (unsurprising perhaps since we now are talking about four different regressions!) so I have tried not to dwell on the matter. Comprehend them as "$X_2$ given others" and "$Y$ given others" and you should be fine.

is there anything that can really be said about the trends seen in the plots

Sure, their slopes are the regression coefficients from the original model (partial regression coefficients, all other predictors held constant)