Perché i prezzi delle azioni sono lognormali ma i rendimenti delle azioni sono normali

A parte il fatto che i rendimenti possono essere negativi mentre i prezzi devono essere positivi, c'è qualche altra ragione dietro la modellazione dei prezzi delle azioni come distribuzione normale dei registri ma la modellazione dei rendimenti delle azioni come distribuzione normale?

normal-distribution lognormal finance

— Vincitore
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Nessuna delle affermazioni nel titolo è in realtà vera. Dovresti definire i ritorni nella tua domanda (ho visto due definizioni leggermente diverse, e importa come una risposta debba essere formulata in questo caso)

— Glen_b -Reststate Monica

Ritorni giornalieri ... come in ... la differenza tra l'apertura del giorno e la chiusura del giorno espressa in% dell'apertura.

— Victor,

È possibile trovare informazioni aggiornate sulle distribuzioni di resi azionari su video di 3 minuti pubblicati qui: indiegogo.com/projects/fat-tails-mathematics/x/17297122#

— Anton Nefedov,

L'esistenza di una risposta altamente votata e accettata implica che questa Q sia sufficientemente chiara per ricevere una risposta. Sto votando per lasciare aperto.

— gung - Ripristina Monica

Alcuni punti per iniziare:

i) queste convenzioni distributive sono nel migliore dei casi approssimazioni. Possono essere modelli convenienti, ma non dovremmo confonderlo con la distribuzione effettiva dei prezzi delle azioni o dei rendimenti.

ii) i prezzi delle azioni sono in genere in aumento (ma in ogni caso hanno una media variabile; la media non è stabile). Quindi, quando parliamo della distribuzione dei prezzi delle azioni, di solito non ci riferiamo alla loro distribuzione marginale, ma a una distribuzione condizionata . Così tendiamo spesso a media qualcosa di più simile è di circa il log-normale con cambio media con (in particolare, condizionatamente lognormale, condizionato qualche valore precedente e il tempo trascorso). Anche la varianza può cambiare, nel qual caso sia la media che la condizione di varianza su un valore e un tempo precedenti. Ad esempio, per "i prezzi delle azioni sono approssimativamente lognormali" potremmo significare $y_t$ $t$ $y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$ o equivalentemente $y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

iii) Notare che per piccolo , . $x$ $\log(1+x)\approx x$

Per i rendimenti a breve termine, come i rendimenti giornalieri, in genere è piuttosto piccolo, in genere nell'ordine di 0,01 - o spesso inferiore - in valore assoluto. $\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Quando quel rapporto è piccolo, $\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Cioè, il rendimento è approssimativamente la variazione del prezzo delle azioni di registro (provalo con i prezzi delle azioni reali e vedi che sono quasi identici).

Quindi se

y_{t} \dot{~} \log N (\log (y_{t - 1}) + μ_{quotidiano}, σ_{quotidiano}^{2})

$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

il che implica

\log (y_{t}) \dot{~} N (\log (y_{t - 1}) + μ_{quotidiano}, σ_{quotidiano}^{2})

$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

poi

\frac{y_{t} - y_{t - 1}}{y_{t - 1}} \approx \log (y_{t}) - \log (y_{t - 1}) \dot{~} N (μ_{quotidiano}, σ_{quotidiano}^{2})

$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

— Glen_b - Ripristina Monica
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Come accennato, per resi di breve periodo potresti confonderlo con una distribuzione normale. L'ho illustrato in un post sul mio blog.

— Jan Rothkegel,