Distribuzione di probabilità per un'onda sinusoidale rumorosa

Sto cercando di calcolare analiticamente una distribuzione di probabilità dei punti di campionamento da una funzione oscillante quando c'è un errore di misurazione. Ho già calcolato la distribuzione di probabilità per la parte "senza rumore" (lo metterò alla fine), ma non riesco a capire come includere "rumore".

Stima numerica

Per essere più chiari, immagina che ci sia una funzione cui scegli casualmente i punti durante un singolo ciclo; se raccogli i punti in un istogramma otterrai qualcosa relativo alla distribuzione.$y(x) = \sin(x)$

Senza rumore

Ad esempio, ecco il e l'istogramma corrispondente$sin(x)$

Con il rumore

Ora, se c'è qualche errore di misurazione, cambierà la forma dell'istogramma (e quindi penso alla distribuzione sottostante). Per esempio

Calcolo analitico

Quindi speriamo di averti convinto che ci sia qualche differenza tra i due, ora scriverò come ho calcolato il caso "senza rumore":

Senza rumore

$$y(x) = \sin(x)$$

Quindi se i tempi in cui campioniamo sono distribuiti uniformemente, allora la distribuzione di probabilità per deve soddisfare:$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

allora da allora

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

e così

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

che con un'adeguata normalizzazione si adatta all'istogramma generato nel caso "nessun rumore".

Con il rumore

$y(x)$

Dipende da come è strutturato il processo del rumore.

$Y$

$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(questa convoluzione è stata fatta numericamente; non so quanto sia trattabile questo integrale in questo esempio, perché non l'ho provato.)

Penso che l'espressione derivata per P (x) sia disattivata di un fattore due. Il tempo di campionamento distribuito uniformemente equivale a distribuire uniformemente la fase nell'intervallo -pi, pi. La funzione trigonometrica distribuisce probabilità nell'intervallo y {-1,1}. L'integrazione di P (y) in questo intervallo deve essere = 1, non 2 come ottenuta usando il proprio integrando sopra. Penso che P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))