Regressione con variabile indipendente inversa

Supponiamo che io abbia un -vettore di variabili dipendenti e un -vettore di variabile indipendente. Quando viene tracciato contro , vedo che esiste una relazione lineare (tendenza al rialzo) tra i due. Ora, anche questo significa che v'è una tendenza lineare ribasso tra e X .Y N X Y $N$$Y$$N$$X$$Y$ Y$\frac{1}{X}$$Y$$X$

Ora, se eseguo la regressione: $Y = \beta * X + \epsilon$ e ottengo il valore adattato $\hat{Y} = \hat{\beta}X$

Quindi eseguo la regressione: $Y = \alpha * \frac{1}{X} + \epsilon$ e ottengo il valore adattato $\tilde{Y} = \hat{\alpha} \frac{1}{X}$

I due valori previsti, $\hat{Y}$ e $\tilde{Y}$ saranno approssimativamente uguali?

 Quando Y viene tracciato contro $\frac{1}{X}$ , vedo che esiste una relazione lineare (tendenza al rialzo) tra i due. Ora, questo significa anche che esiste una tendenza al ribasso lineare tra Y e X

L'ultima frase è sbagliata: c'è una tendenza al ribasso, ma non è affatto lineare:

Ho usato un $f(x) = \frac{1}{x}$ come la funzione più un bit di rumore $Y$ . Come puoi vedere, mentre tracciare $Y$ su $\frac{1}{X}$ produce un comportamento lineare, $Y$ su $X$ è tutt'altro che lineare.

(@whuber sottolinea che la trama contro non sembra omoscedastica. Penso che sembra avere una varianza più alta per bassa perché la densità del case molto più alta porta a un intervallo più ampio che è essenzialmente ciò che noi percepire. In realtà, i dati sono omoscedastici: ero solito generare i dati, quindi nessuna dipendenza dalla dimensione di )$Y$ Y$\frac{1}{X}$$Y$Y = 1 / X + rnorm (length (X), sd = 0.1)$X$

Quindi in generale la relazione è molto non lineare. Cioè, a meno che il tuo intervallo di sia così stretto da poter approssimareEcco un esempio:d $X$$\frac{d \frac{1}{x}}{dx} = - \frac{1}{x^2} \approx const.$

Linea di fondo:

• In generale, è molto difficile approssimare una funzione di tipo con una funzione lineare o polinomiale. E senza termine di compensazione non otterrai mai un'approssimazione ragionevole.$\frac{1}{X}$
• Se l' intervallo è abbastanza stretto da consentire un'approssimazione lineare, dai dati non sarà comunque possibile indovinare che la relazione dovrebbe essere e non lineare ( ).$X$$\frac{1}{X}$$X$

Non vedo alcun motivo per cui siano "approssimativamente uguali" in generale - ma cosa intendi esattamente con approssimativamente uguale?

Ecco un esempio di giocattolo:

library(ggplot2)
n <- 10^3
df <- data.frame(x=runif(n, min=1, max=2))
df$y <- 5 / df$x + rnorm(n)
p <- (ggplot(df, aes(x=x, y=y)) +
      geom_point() +
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + x) +  # Blue, OP's y hat
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + I(x^-1), color="red"))  # Red, OP's y tilde
p

La foto:

Il modello "blu" farebbe molto meglio se gli fosse permesso di avere un termine di intercettazione (cioè costante) ...