Mostra che se

Attualmente bloccato su questo, so che dovrei probabilmente usare la deviazione media della distribuzione binomiale ma non riesco a capirlo.

— Thyde
fonte

Ciao, benvenuto nel CV. Sebbene domande come queste siano benvenute, le trattiamo in modo diverso: se si inseriscono ulteriori informazioni nella domanda, è possibile ottenere suggerimenti e indicazioni. Si prega di consultare il paragrafo pertinente nella sua pagina della guida e le linee guida sul self-study tag wiki . Aggiungi il self-studytag e modifica la domanda come suggerito (ovvero, mostra cosa hai provato, o almeno spiega cosa sai di aspettative e binomi) e identifica dove si trovano le tue difficoltà.

— Glen_b

potresti anche guardare alla disuguaglianza di

— Jensen

@ seanv507 certamente, se usiamo la disuguaglianza di Jensen, lo fa in un solo passaggio, e se tuode lo ha coperto è tutto ciò che sarebbe necessario, ma in questo caso c'è una prova davvero elementare che è ben alla portata di studenti che conoscono solo alcuni proprietà basilari di aspettativa e varianza.

— Glen_b -Restate Monica

che diventa

, quindi risolvendo otteniamo:

. È corretto?

E [Y^{2}] = V a r [Y] + E [Y]^{2}

$E[Y^2] = Var[Y] + E[Y]^2$

V a r [X] + (E [X] - n p)^{2}

$Var[X] + (E[X] - np)^2$

n p q + (n p - n p)^{2} = n p q

$npq + (np - np)^2 = npq$

— Timo

Penso che ti stai confondendo con Var. basta usare E. devi mostrare che

E | X - n p | \leq \sqrt{E [| X - n p |^{2}]}

$E|X-np|\le \sqrt{E[|X-np|^2]}$

— seanv507,

In modo che il thread dei commenti non esploda, sto raccogliendo i miei suggerimenti per una prova completamente elementare (puoi farlo più breve di questo, ma speriamo che questo renda ogni passaggio intuitivo). Ho eliminato la maggior parte dei miei commenti (che purtroppo lascia i commenti un po 'sconnessi).

Sia . Nota . Mostra . Se conosci già , potresti semplicemente dichiarare , poiché lo spostamento di una costante non fa nulla per la varianza. $Y=X-np$ $E(Y)=0$ $\text{Var}(Y)=npq$ $\text{Var}(X)$ $\text{Var}(Y)$
Lascia che . Scrivi un'ovvia disuguaglianza in , espandi e usa il risultato precedente. [Puoi riorganizzarlo leggermente in una chiara prova, ma sto cercando di motivare come arrivare a una prova, non solo la prova finale.] $Z=|Y|$ $\text{Var}(Z)$ $\text{Var}(Z)$

Questo è tutto quello che c'è da fare. Sono 3 o 4 linee semplici, che non usano nulla di più complicato delle proprietà di base di varianza e aspettativa (l'unico modo in cui il binomio entra in esso è nel dare la forma specifica di e - potresti provare il caso generale che la deviazione media sia sempre altrettanto facilmente). $E(X)$ $\text{Var}(X)$ $\leq \sigma$

[In alternativa, se hai familiarità con la disuguaglianza di Jensen, puoi farlo leggermente più brevemente.]

Ora che è passato del tempo, delineerò un po 'più di dettaglio su come affrontarlo:

$Z=|X-nq|$ $\text{Var}(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2$ $E(Z^2)=E[(X-nq)^2]$

Si noti che le varianze devono essere positive. Il risultato segue.

— Glen_b -Restate Monica
fonte