Generazione di valori da una distribuzione gaussiana multivariata

Attualmente sto cercando di valori Simula di un $N$ -dimensionale variabile casuale $X$ che ha una distribuzione normale multivariata con vettore medio $\mu = (\mu_1,...,\mu_N)^T$ e la matrice di covarianza . $S$

Spero di utilizzare una procedura simile al metodo inversa CDF, il che significa che voglio generare un primo -dimensionale variabile aleatoria uniforme e quindi collegare quello nel CDF inversa di questa distribuzione, quindi di generare valore . $N$ $U$ $X$

Sto riscontrando problemi perché la procedura non è ben documentata e ci sono lievi differenze tra la funzione mvnrnd in MATLAB e una descrizione che ho trovato su Wikipedia .

Nel mio caso, sto anche scegliendo i parametri della distribuzione in modo casuale. In particolare, generi ciascuno dei mezzi, $\mu_i$ , da una distribuzione uniforme $U(20,40)$ . Quindi costruisco la matrice di covarianza $S$ usando la seguente procedura:

Crea una matrice triangolare inferiore $L$ dove $L(i,i) = 1$ per $i=1..N$ e $L(i,j) = U(-1,1)$ per $i < j$
Let $S = LL^T$ dove $L^T$ indica la trasposta di $L$ .

Questa procedura mi consente di garantire che $S$ sia simmetrica e definita positiva. Fornisce anche una matrice triangolare inferiore $L$ modo che $S = LL^T$ , che credo sia necessario per generare valori dalla distribuzione.

Usando le linee guida su Wikipedia, dovrei essere in grado di generare valori di $X$ usando un'uniforme $N$ dimensionale come segue:

$X = \mu + L * \Phi^{-1}(U)$

Secondo la funzione MATLAB, tuttavia, ciò viene generalmente eseguito come:

$X = \mu + L^T * \Phi^{-1}(U)$

Dove è l'inverso di un CDF dimensionale, separabili, distribuzione normale, e l'unica differenza tra i due metodi è semplicemente se uso o . $\Phi^{-1}$ $N$ $L$ $L^T$

MATLAB o Wikipedia è la strada da percorrere? O sono entrambi sbagliati?

— Berk U.
fonte

Come detto, entrambi sono sbagliati perché

è un vettore di riga mentre

deve essere un vettore di colonna. Quando si raddrizzano le righe e le colonne, questa domanda dovrebbe rispondere semplicemente identificando quale versione di

μ

$\mu$

T * i n v n o r m (U)

$T * invnorm(U)$

(X - μ)^{'} (X - μ)

$(X-\mu)'(X-\mu)$

(X - μ) (X - μ)^{'}

$(X-\mu)(X-\mu)'$ dà una matrice e quale versione dà solo un numero: verifica che si può calcolare l'aspettativa della versione matrice e che dà

S

$S$

— whuber

@whuber Yeap. Apportate le modifiche alla formattazione della domanda. Grazie per il suggerimento: sicuramente il modo più semplice per verificare.

— Berk, U.

Se è un vettore colonna di normale standard RV, quindi se si imposta , la covarianza di è . $X \sim \mathcal{N}(0,I)$ $Y = L X$ $Y$ $L L^T$

Penso che il problema che stai riscontrando potrebbe derivare dal fatto che la funzione mvnrnd di matlab restituisce i vettori di riga come campioni, anche se specifichi la media come vettore di colonna. per esempio,

 > size(mvnrnd(ones(10,1),eye(10))  
 > ans =
 >      1    10

E nota che trasformare un vettore di riga ti dà la formula opposta. se è un vettore di riga, è anche un vettore di riga, quindi $X$ $Z = X L^T$ $Z^T = L X^T$ è un vettore di colonna e la covarianza di può essere scritta . $Z^T$ $E[Z^TZ] = LL^T$

Sulla base di ciò che hai scritto, la formula di Wikipedia è corretta: se $\Phi^{-1}(U)$ erano un vettore riga restituita da MATLAB, non è possibile a sinistra moltiplicarlo per . (Ma moltiplicare a destra per ti darebbe un campione con la stessa covarianza di ). $L^T$ $L^T$ $LL^T$

— jpillow
fonte

Si noti che l'aiuto per mvnrnd in matlab usa

come numero di campioni; il numero di dimensioni è

. Quindi, se chiedi

campioni da una normale multivariata

dimensionale, li restituisce come una matrice

N

$N$

D

$D$

N

$N$

D

$D$

N \times D

$N \times D$

— jpillow,