Perché


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Una sequenza di stimatori per un parametro θ è asintoticamente normale se Unθ. (fonte) Chiamiamo quindivla varianza asintotica diUn. Se questa varianza è uguale allimite di Cramer-Rao, diciamo che lo stimatore / sequenza è asintoticamente efficiente.n(Unθ)N(0,v)vUn

Domanda: Perché usiamo in particolare?n

So che per la media del campione, e quindi questa scelta la normalizza. Ma poiché le definizioni sopra si applicano a più della media del campione, perché scegliamo ancora di normalizzare diVar(X¯)=σ2n .n


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Per un buon stimatore, dovrebbe avere media θ , il parametro da stimare e la varianza di U n dovrebbe convergere a 0 , ovvero la distribuzione di U n dovrebbe convergere in una distribuzione degenerata con un singolo atomo in θ . Ma ci sono molti modi in cui questa convergenza può verificarsi, ad es. U nU ( θ - 1 / n , θ + 1 / n ) o U nN ( θUnθUn0UnθUnU(θ1/n,θ+1/n) ecc. Desideriamo applicare il soubriquetasintoticamente normalea quest'ultimo caso, ma non al primo caso. UnN(θ,v/n)
Dilip Sarwate,

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Gli stimatori efficienti sono asintoticamente normali. en.wikipedia.org/wiki/…
Khashaa,

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Questa domanda potrebbe essere meglio denominata "normalità asintotica" piuttosto che "efficienza asintotica"? Non mi è chiaro dove "l'efficienza" diventi un aspetto sostanziale della questione, piuttosto che solo il contesto in cui è stata incontrata la "normalità asintotica".
Silverfish

Basta controllare una prova della normalità asintotica di MLE! La radice quadrata serve per applicare un teorema limite centrale applicabile ad una media campionaria! n
Megadeth,

Risposte:


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Non possiamo scegliere qui. Il fattore "normalizzante", in sostanza, è un fattore di "stabilizzazione della varianza a qualcosa di finito", in modo che l'espressione non vada a zero o all'infinito quando la dimensione del campione va all'infinito, ma per mantenere una distribuzione al limite.

Quindi deve essere quello che deve essere in ogni caso. Certamente è interessante che in molti casi emerge che deve essere . (ma vedi anche il commento di @ whuber sotto).n

Un esempio standard in cui il fattore di normalizzazione deve essere , anziché n è quando abbiamo un modellon

yt=βyt1+ut,y0=0,t=1,...,T

con ut rumore bianco, e si stima l'ignoto dai minimi quadrati ordinari.β

In tal caso, il vero valore del coefficiente è |β|<1 , quindi lo stimatore OLS è coerente e converge al solito tasso n . n

Ma se invece il vero valore è (cioè in realtà abbiamo una camminata casuale pura), allora lo stimatore OLS è coerente ma converge "più veloce", al tasso nβ=1n (questo a volte viene chiamato uno stimatore "superconsistente" -since , Immagino, così tanti stimatori convergono al ritmo ). In questo caso, per ottenere il suo (non normale) distribuzione asintotica, noiabbiamoin scala( β -β)dann
(β^β)n (se si scala solo l'espressione andrà a zero).nHamilton ch 17 ha i dettagli.


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Alecos, potresti chiarire cosa viene stimato nel modello (dove presumo tu intendessi y 0 = 0 e le osservazioni sono iscritte 1 , 2 , ecc.). È quello nel modello y t = β y t - 1yt=yt1+ut,u0=0y0=01,2, OLS stimatore β converge al tassoyt=βyt1+utβ^ per| β| <1ma quandoβ=1 laconvergenza è alla velocitàn, o è vero che nel modelloyt=βy t - 1 +utla convergenza è sempre alla velocitàn? In breve, qual è il significato dell'affermazione "eβ=1, cioè una camminata casuale pura"? n|β|<1β=1nyt=βyt1+utnβ=1
Dilip Sarwate,

@DilipSarwate Grazie. Aggiornato. Credo che sia chiaro ora.
Alecos Papadopoulos,

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(+1) Potrebbe essere utile e istruttivo notare che la scelta di (ono qualunque cosa sia appropriata) non è univoco. Al suo posto è possibile utilizzarequalsiasifunzionef(n)per la quale il valore limite dif(n)/nnf(n) uguale a unità. È solo in questo senso più ampio chef"deve essere quello che deve essere". f(n)/nf
whuber

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@Khashaa L'OP ha chiesto l'efficienza asintotica, ma nel processo è stato rivelato che l'OP poteva avere l'impressione sbagliata di "normalizzare" i fattori. Questo è un problema più fondamentale, quindi ho scelto di trattarlo nella mia risposta. Nulla è detto nella mia risposta sull'efficienza.
Alecos Papadopoulos,

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Forse vale la pena ricordare nella tua risposta che il caso con anziché con n si chiama "superconsistente"? Attualmente l'unica altra menzione di "superconsistente" su CV che la funzione di ricerca del sito può cogliere èun'altra di Alecos! Penso che sia una buona idea rendere Qs e As più facili da cercare. n
Silverfish

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Eri sulla strada giusta con un intuito di varianza media di esempio. Riorganizza la condizione:

n(Unθ)N(0,v)
(Unθ)N(0,v)n
UnN(θ,vn)

L'ultima equazione è informale . Tuttavia, è in qualche modo più intuitivo: dici che la deviazione diUn a partire dal θ sta diventando più simile a una normale distribuzione quando naumenta. La varianza si sta riducendo, ma la forma si avvicina alla distribuzione normale.

In matematica non definiscono la convergenza con il cambiamento del lato destro (n is varying). That's why the same idea is expressed as the original condition, that you gave. In which the right hand side is fixed, and the left hand side converges to it.


You could explain how you do the "re-arrangements". Like what properties you apply.
mavavilj
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