Perché

Una sequenza di stimatori per un parametro è asintoticamente normale se $U_n$ $\theta$ . (fonte) Chiamiamo quindila varianza asintotica di. Se questa varianza è uguale allimite di Cramer-Rao, diciamo che lo stimatore / sequenza è asintoticamente efficiente. $\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$ $v$ $U_n$

Domanda: Perché usiamo in particolare? $\sqrt{n}$

So che per la media del campione, e quindi questa scelta la normalizza. Ma poiché le definizioni sopra si applicano a più della media del campione, perché scegliamo ancora di normalizzare di $Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}$ . $\sqrt{n}$

estimation asymptotics efficiency

— senza tracce
fonte

Per un buon stimatore,

dovrebbe avere media

, il parametro da stimare e la varianza di

dovrebbe convergere a

, ovvero la distribuzione di

dovrebbe convergere in una distribuzione degenerata con un singolo atomo in

. Ma ci sono molti modi in cui questa convergenza può verificarsi, ad es.

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n}

$U_n$

0

$0$

U_{n}

$U_n$

θ

$\theta$

U_{n} \sim U (θ - 1 / n, θ + 1 / n)

$U_n \sim U(\theta-1/n,\theta+1/n)$

ecc. Desideriamo applicare il soubriquetasintoticamente normalea quest'ultimo caso, ma non al primo caso.

U_{n} \sim N (θ, v / n)

$U_n\sim N(\theta,v/n)$

— Dilip Sarwate,

Gli stimatori efficienti sono asintoticamente normali. en.wikipedia.org/wiki/…

— Khashaa,

Questa domanda potrebbe essere meglio denominata "normalità asintotica" piuttosto che "efficienza asintotica"? Non mi è chiaro dove "l'efficienza" diventi un aspetto sostanziale della questione, piuttosto che solo il contesto in cui è stata incontrata la "normalità asintotica".

— Silverfish

Basta controllare una prova della normalità asintotica di MLE! La radice quadrata

serve per applicare un teorema limite centrale applicabile ad una media campionaria!

n

$n$

— Megadeth,

Risposte:

Non possiamo scegliere qui. Il fattore "normalizzante", in sostanza, è un fattore di "stabilizzazione della varianza a qualcosa di finito", in modo che l'espressione non vada a zero o all'infinito quando la dimensione del campione va all'infinito, ma per mantenere una distribuzione al limite.

Quindi deve essere quello che deve essere in ogni caso. Certamente è interessante che in molti casi emerge che deve essere . (ma vedi anche il commento di @ whuber sotto). $\sqrt n$

Un esempio standard in cui il fattore di normalizzazione deve essere , anziché $n$ è quando abbiamo un modello $\sqrt n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}, y_{0} = 0, t = 1, . . ., T

$y_t = \beta y_{t-1} + u_t, \;\; y_0 = 0,\; t=1,...,T$

con $u_t$ rumore bianco, e si stima l'ignoto dai minimi quadrati ordinari. $\beta$

In tal caso, il vero valore del coefficiente è $|\beta|<1$ , quindi lo stimatore OLS è coerente e converge al solito tasso . $\sqrt n$

Ma se invece il vero valore è (cioè in realtà abbiamo una camminata casuale pura), allora lo stimatore OLS è coerente ma converge "più veloce", al tasso $\beta=1$ $n$ (questo a volte viene chiamato uno stimatore "superconsistente" -since , Immagino, così tanti stimatori convergono al ritmo ). In questo caso, per ottenere il suo (non normale) distribuzione asintotica, noiabbiamoin scalada $\sqrt n$
$(\hat \beta - \beta)$ $n$ (se si scala solo l'espressione andrà a zero). $\sqrt n$ Hamilton ch 17 ha i dettagli.

— Alecos Papadopoulos
fonte

Alecos, potresti chiarire cosa viene stimato nel modello

(dove presumo tu intendessi

e le osservazioni sono iscritte

ecc.). È quello nel modello

y_{t} = y_{t - 1} + u_{t}, u_{0} = 0

$y_t = y_{t-1}+u_t, u_0=0$

y_{0} = 0

$y_0=0$

1, 2,

$1, 2,$

OLS stimatore

converge al tasso

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

per

ma quando

convergenza è alla velocità

, o è vero che nel modello

la convergenza è sempre alla velocità

? In breve, qual è il significato dell'affermazione "e

, cioè una camminata casuale pura"?

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

| β | < 1

$|\beta| < 1$

β = 1

$\beta=1$

n

$n$

y_{t} = β y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \beta y_{t-1}+u_t$

n

$n$

β = 1

$\beta=1$

— Dilip Sarwate,

@DilipSarwate Grazie. Aggiornato. Credo che sia chiaro ora.

— Alecos Papadopoulos,

(+1) Potrebbe essere utile e istruttivo notare che la scelta di

o qualunque cosa sia appropriata) non è univoco. Al suo posto è possibile utilizzarequalsiasifunzione

per la quale il valore limite di

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

n

$n$

f (n)

$f(n)$

uguale a unità. È solo in questo senso più ampio che

"deve essere quello che deve essere".

f (n) / \sqrt{n}

$f(n)/\sqrt{n}$

f

$f$

— whuber

@Khashaa L'OP ha chiesto l'efficienza asintotica, ma nel processo è stato rivelato che l'OP poteva avere l'impressione sbagliata di "normalizzare" i fattori. Questo è un problema più fondamentale, quindi ho scelto di trattarlo nella mia risposta. Nulla è detto nella mia risposta sull'efficienza.

— Alecos Papadopoulos,

Forse vale la pena ricordare nella tua risposta che il caso con

anziché con

n

$n$

si chiama "superconsistente"? Attualmente l'unica altra menzione di "superconsistente" su CV che la funzione di ricerca del sito può cogliere èun'altra di Alecos! Penso che sia una buona idea rendere Qs e As più facili da cercare.

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— Silverfish

Eri sulla strada giusta con un intuito di varianza media di esempio. Riorganizza la condizione:

\sqrt{n} (U_{n} - θ) \to N (0, v)

$\sqrt{n}(U_n - \theta) \to N(0,v)$

(U_{n} - θ) \to \frac{N (0, v)}{\sqrt{n}}

$(U_n - \theta) \to \frac{N(0,v)}{\sqrt{n}}$

U_{n} \to N (θ, \frac{v}{n})

$U_n \to N(\theta,\frac{v}{n})$

L'ultima equazione è informale . Tuttavia, è in qualche modo più intuitivo: dici che la deviazione di $U_n$ a partire dal $\theta$ sta diventando più simile a una normale distribuzione quando $n$ aumenta. La varianza si sta riducendo, ma la forma si avvicina alla distribuzione normale.

In matematica non definiscono la convergenza con il cambiamento del lato destro ( $n$ is varying). That's why the same idea is expressed as the original condition, that you gave. In which the right hand side is fixed, and the left hand side converges to it.

— Aksakal
fonte

You could explain how you do the "re-arrangements". Like what properties you apply.

— mavavilj