Come testare la mediana di una popolazione?

Ho un campione di 250 unità. La distribuzione è asimmetrica. Voglio testare un'ipotesi che la mediana della popolazione sia diversa dalla 3.5, quindi penso che un test a un campione sarebbe appropriato. So che il test dei ranghi di Wilcoxon non è appropriato perché la distribuzione non è simmetrica. È opportuno utilizzare un test dei segni? In caso contrario, qualcuno può consigliare qualsiasi altro test?

Sinossi

Il conteggio di dati superiori a ha una distribuzione binomiale con probabilità sconosciuta . Utilizzare questo per condurre un test binomiale di rispetto all'alternativa .$3.5$$p$$p=1/2$$p\ne 1/2$

Il resto di questo post spiega il modello sottostante e mostra come eseguire i calcoli. Fornisce Rcodice funzionante per eseguirli. Un resoconto esteso della teoria del test di ipotesi sottostante è fornito nella mia risposta a "Qual è il significato di valori p e valori t nei test statistici?" .

Il modello statistico

Supponendo che i valori siano ragionevolmente diversi (con pochi legami a ), quindi sotto la tua ipotesi nulla, qualsiasi valore campionato casualmente ha una probabilità di superare (poiché è caratterizzato come il valore medio della popolazione) . Supponendo che tutti e valori siano stati campionati in modo casuale e indipendente, il loro numero superiore a avrà quindi una distribuzione binomiale . Chiamiamo questo numero il "conteggio", .$3.5$$1/2=50\%$$3.5$$3.5$$250$$3.5$$(250,1/2)$$k$

D'altra parte, se la mediana della popolazione differisce da , la possibilità di un valore campionato a caso superiore a sarà diversa da . Questa è l'ipotesi alternativa.$3.5$$3.5$$1/2$

Trovare un test adatto

Il modo migliore per distinguere la situazione nulla dalle sue alternative è quello di esaminare i valori di che sono molto probabilmente sotto il valore null e meno probabili sotto le alternative. Questi sono i valori vicino a di , pari a . Pertanto, una regione critica per il test è costituita da valori relativamente lontani da : vicino a o vicino a . Ma quanto lontano devono essere per costituire una prova significativa del fatto che non è la mediana della popolazione?$k$$1/2$$250$$125$$125$$0$$250$$125$$3.5$

In dipende dal tuo standard di significatività: questa è chiamata dimensione del test , spesso chiamata . Sotto l'ipotesi nulla, ci dovrebbe essere vicino - ma non più di - una possibilità che sia nella regione critica.$\alpha$$\alpha$$k$

Normalmente, quando non abbiamo preconcetti su quale alternativa verrà applicata - una mediana maggiore o minore di - proviamo a costruire la regione critica in modo che ci sia metà di quella possibilità, , che sia basso e il l'altra metà, , che è alta. Poiché conosciamo la distribuzione di sotto l'ipotesi nulla, questa informazione è sufficiente per determinare la regione critica.$3.5$$\alpha/2$$k$$\alpha/2$$k$$k$

Tecnicamente, ci sono due modi comuni per eseguire il calcolo: calcolare le probabilità binomiali o approssimarle con una distribuzione normale.

Calcolo con probabilità binomiali

Utilizzare la funzione punto percentuale (quantile). In R, per esempio, questo si chiama qbinome sarebbe invocato come

alpha <- 0.05 # Test size
c(qbinom(alpha/2, 250, 1/2)-1, qbinom(1-alpha/2, 250, 1/2)+1)

L'output per è$\alpha=0.05$

109 141

Significa che la regione critica comprende tutti i valori bassi di tra (e compreso) e , insieme a tutti i valori alti di tra (e compreso) e . Come controllo, possiamo chiedere di calcolare la possibilità che si trova in quella regione quando il valore nullo è vero:$k$$0$$109$$k$$141$$250$Rk

pbinom(109, 250, 1/2) + (1-pbinom(141-1, 250, 1/2))

L'output è , molto vicino a - ma non maggiore di-- stesso. Poiché la regione critica deve terminare con un numero intero, di solito non è possibile rendere questa dimensione effettiva del test esattamente uguale alla dimensione nominale del test , ma in questo caso i due valori sono davvero molto vicini.$0.0497$$\alpha$$\alpha$

Calcolo con l'approssimazione normale

La media di una distribuzione binomiale è e la sua varianza è , facendo la sua deviazione standard uguale a . Sostituiremo la distribuzione binomiale con una distribuzione normale. La distribuzione normale standard ha della sua probabilità inferiore a , calcolata dal comando$(250, 1/2)$$250\times 1/2=125$$250\times 1/2\times (1-1/2) = 250/4$$\sqrt{250/4}\approx 7.9$$\alpha/2=0.05/2$$-1.95996$R

qnorm(alpha/2)

Poiché le distribuzioni normali sono simmetriche, ha anche della sua probabilità maggiore di . Pertanto la regione critica è costituita da valori di che sono più di deviazioni standard da . Calcola queste soglie: equivalgono a . Il calcolo può essere eseguito in un colpo solo come+ 1,95996 k 1,95996 125 125 ± 7,9 × 1,96 ≈ 109,5 , $0.05/2$$+1.95996$$k$$1.95996$$125$$125 \pm 7.9\times 1.96 \approx 109.5, 140.5$

250*1/2 + sqrt(250*1/2*(1-1/2)) * qnorm(alpha/2) * c(1,-1)

Poiché deve essere un numero intero, vediamo che cadrà nella regione critica quando sarà o inferiore o o maggiore. Questa risposta è identica a quella ottenuta usando l'esatto calcolo binomiale. Questo in genere è il caso in cui è più vicino di rispetto a o , la dimensione del campione è da moderata a grande (decine o più) e non è molto piccola (qualche percento).109 141 p 1 / 2 0 1 $k$$109$$141$$p$$1/2$$0$$1$$\alpha$

Questo test, poiché non presuppone nulla sulla popolazione (tranne per il fatto che non ha molta probabilità focalizzata sulla sua mediana), non è potente come altri test che fanno ipotesi specifiche sulla popolazione. Se tuttavia il test rifiuta il valore nullo, non è necessario preoccuparsi della mancanza di energia. Altrimenti, devi fare alcuni delicati compromessi tra ciò che sei disposto ad assumere e ciò che sei in grado di concludere sulla popolazione.