Soluzione all'esercizio 2.2a.16 di "Statistiche affidabili: l'approccio basato sulle funzioni di influenza"

A pagina 180 di statistiche affidabili: l'approccio basato sulle funzioni di influenza si trova la seguente domanda:

16: Mostra che per gli stimatori invarianti di posizione sempre . Trova il limite superiore corrispondente sul punto di campione finito , entrambi nel caso in cui è dispari o è pari. $\varepsilon^*\leq\frac{1}{2}$ $\varepsilon^*_n$ $n$ $n$

La seconda parte (dopo il periodo) è in realtà banale (data la prima) ma non riesco a trovare un modo per dimostrare la prima parte (frase) della domanda.

Nella sezione del libro relativa a questa domanda si trova (p98):

Definizione 2: Il punto di rottura del campione finito di uno stimatore sul campione è dato da: $\varepsilon^*_n$ $T_n$ $(x_l,\ldots, x_n)$

$ε_{n}^{*} (T_{n}; x_{i}, \dots, x_{n}) := \frac{1}{n} max {m : max_{i_{1}, \dots, i_{m}} sup_{y_{1}, \dots, y_{m}} | T_{n} (z_{1}, \dots, z_{n}) | < \infty}$ $\varepsilon^*_n(T_n;x_i,\ldots,x_n):=\frac{1}{n}\max\{m:\max_{i_1,\ldots,i_m}\sup_{y_1,\ldots,y_m}\;|T_n(z_1,\ldots,z_n)|<\infty\}$
dove il campione $(z_1,\ldots,z_n)$ viene ottenuto sostituendo $m$ punti dati $x_{i_1},\ldots,x_{i_m}$ con valori arbitrari $y_1,\ldots,y_m.$

La definizione formale di stessa funziona per quasi una pagina, ma può essere considerata come Anche se non definita esplicitamente, una può indovinare che invariante posizione significa che deve soddisfare $\varepsilon^*$

ε^{*} = lim_{n \to \infty} ε_{n}^{*}

$\varepsilon^*=\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\varepsilon^*_n$

T_{n}

$T_n$

T_{n} (x_{1}, \dots, x_{n}) = T_{n} (x_{1} + c, \dots, x_{n} + c), for all c \in R

$T_n(x_1,\ldots,x_n)= T_n(x_1+c,\ldots,x_n+c), \text{ for all } c\in \Bbb{R}$

Io (provo a) rispondere alla domanda di Whuber nel commento qui sotto. Il libro definisce lo stimatore è di diverse pagine, a partire da p82, provo a riprodurre le parti principali (penso che risponderà alla domanda di Whuber): $T_n$

Supponiamo di avere osservazioni unidimensionali che sono indipendenti e identicamente distribuite (iid). Le osservazioni appartengono allo spazio campione , che è un sottoinsieme della linea reale (spesso equivale semplicemente a stesso, quindi le osservazioni possono assumere qualsiasi valore ). Un modello parametrico è costituito da una famiglia di distribuzioni di probabilità , nello spazio campione, in cui il parametro sconosciuto appartiene ad alcuni spazi dei parametri $(X_1,\ldots,X_n)$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $\mathcal{H}$ $\mathbb{R}$ $F_\theta$ $\theta$ $\Theta$

...

Identifichiamo il campione con la sua distribuzione empirica , ignorando la sequenza delle osservazioni (come quasi sempre viene fatto). Formalmente, , è data da dove , è la massa punto 1 in . Come stimatori di , consideriamo le statistiche con valori reali . In senso lato, uno stimatore può essere visto come una sequenza di statistiche , una per ogni possibile dimensione del campione . Idealmente, le osservazioni sono definite secondo un membro del modello parametrico $(X_1,\ldots,X_n)$ $G_n$ $G_n$ $(1/n)\sum_{i=1}^n\Delta_{x_i}$ $\Delta_{X}$ $X$ $\theta$ $T_n=T_n(X_1,\ldots,X_n)=T_n(G_n)$ $\{T_n,n\geq 1\}$ $n$ $\{F_\theta;\theta\in\Theta\}$ , ma la classe di tutte le possibili distribuzioni di probabilità su è molto più grande. $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $\mathcal{H}$

Consideriamo stimatori che sono funzionali [cioè, per tutti e ] o che possono essere asintoticamente sostituiti da funzionali. Ciò significa che supponiamo che esista una funzionale [dove il dominio di è l'insieme di tutte le distribuzioni per cui è definito] tale che in probabilità quando le osservazioni sono indicate secondo la vera distribuzione in . Diciamo che $T_n(G_n)=T(G_n)$ $n$ $G_n$ $T:\mbox{domain}(T)\rightarrow\mathbb{R}$ $T$ $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ $T$
$T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) \underset{n \to \infty}{\to} T (G)$ $T_n(X_1,\ldots,X_n)\underset{n\rightarrow\infty}{\rightarrow}T(G)$ $G$ $\mbox{domain}(T)$ $T(G)$ è il valore asintotico di a . $\{T_n;n\geq 1\}$ $G$

...

In questo capitolo, assumiamo sempre che i funzionali studiati siano coerenti con Fisher (Kallianpur e Rao, 1955): che significa che a il modello lo stimatore misura asintoticamente la giusta quantità. Il concetto di coerenza di Fisher è più adatto ed elegante per i funzionali rispetto alla consistenza consueta o all'imparzialità asintotica.
$T (F_{θ}) = θ for all θ \in Θ$ $T(F_\theta)=\theta\;\mbox{ for all } \theta\in\Theta$ $\{T_n;n\geq 1\}$

self-study robust

— user603
fonte

In che modo questo libro definisce esattamente "stimatore"? Mi sembra che qualsiasi stimatore limitato debba avere un punto di rottura di , quindi sicuramente sta ponendo una sorta di restrizioni speciali su ; e esistono sempre stimatori invarianti di posizione limitati (includeranno le costanti).

T_{n}

$T_n$

1

$1$

T_{n}

$T_n$

— whuber

Grazie per il materiale espanso. Sembra ancora che ci siano molti controesempi. Un semplice è lo stimatore costante per la famiglia a un parametro delle normali distribuzioni della varianza . Questo è uno stimatore invariante posizione della varianza. Il suo punto di rottura è . Fisher è coerente (banalmente), ma ho bisogno di interpretare attentamente la definizione: " " non può riferirsi necessariamente a tutti i parametri, poiché nessuno stimatore invariante della posizione potrebbe essere coerente!

T_{n} (X_{1}, \dots, X_{n}) = 1

$T_n(X_1,\ldots,X_n)=1$

1

$1$

1

$1$

θ

$\theta$

— whuber

@whuber: Grazie, capisco il tuo contro-esempio. Penso che contatterò l'autore e chiederò ulteriori informazioni ...

— user603

I vecchi libri statistici usavano "invariante" in un modo leggermente diverso da quello che ci si potrebbe aspettare; l'ambigua terminologia persiste. Un equivalente più moderno è "equivariante" (vedere i riferimenti alla fine di questo post). Nel presente contesto significa

T_{n} (X_{1} + c, X_{2} + c, \dots, X_{n} + c) = T_{n} (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) + c

$T_n(X_1+c,X_2+c,\ldots,X_n+c) = T_n(X_1,X_2,\ldots,X_n) + c$

per tutto il vero . $c$

Per rispondere alla domanda, quindi, supponiamo che abbia la proprietà che per sufficientemente grande , tutto reale e tutto , $T_n$ $n$ $c$ $m \le \varepsilon^{*}n$

| T_{n} (X + Y) - T_{n} (X) | = o (| c |)

$|T_n(\mathbf{X + Y}) - T_n(\mathbf{X})| = o(|c|)$

ogni volta che differisce da da al massimo in al massimo coordinate. $\mathbf Y$ $\mathbf{X}$ $c$ $m$

(Questa è una condizione più debole di quella assunta nella definizione di limite di rottura. In realtà, tutto ciò che dobbiamo davvero supporre è che quando è sufficientemente grande, l'espressione " " è un valore garantito per essere inferiore a in dimensioni.) $n$ $o(|c|)$ $|c|/2$

La prova è per contraddizione. Supponiamo, di conseguenza, che anche questo sia equivariante e supponiamo che . Quindi per , sufficientemente grandi è un numero intero per il quale sia e . Per qualsiasi numero reale definire $T_n$ $\varepsilon^{*} \gt 1/2$ $n$ $m(n) = \lfloor \varepsilon^{*}n\rfloor$ $m(n)/n \le \varepsilon^{*}$ $(n-m(n))/n \le \varepsilon^{*}$ $a,b$

t_{n} (a, b) = T_{n} (a, a, \dots, a, b, b, \dots, b)

$t_n(a, b) = T_n(a, a, \ldots, a,\ b, b, \ldots, b)$

dove ci sono 's e ' s. Modificando o meno delle coordinate concludiamo entrambe $m(n)$ $a$ $n-m(n)$ $b$ $m(n)$

| t (a, b) - t (0, b) | = o (| a |)

$|t(a,b) - t(0,b)| = o(|a|)$

| t (a, b) - t (a, 0) | = o (| b |) .

$|t(a,b) - t(a,0)| = o(|b|).$

Per afferma la disuguaglianza del triangolo $c\gt 0$

\begin{aligned} c = | t_{n} (c, c) - t_{n} (0, 0) | & \leq | t_{n} (c, c) - t_{n} (c, 0) | + | t_{n} (c, 0) - t_{n} (0, 0) | \\ = o (c) + o (c) \\ < c / 2 + c / 2 \\ = c \end{aligned}

$\eqalign{ c = |t_n(c, c) - t_n(0, 0)| &\le |t_n(c, c) - t_n(c, 0)| + |t_n(c, 0) - t_n(0,0)| \\&= o(c) + o(c) \\&\lt c/2 + c/2 \\ &= c}$

La rigorosa disuguaglianza sulla penultima linea è assicurata per sufficientemente grande . La contraddizione che implica, , dimostra $n$ $c \lt c$ $\varepsilon^{*} \le 1/2.$

Riferimenti

EL Lehmann, teoria della stima puntuale . John Wiley 1983.

Nel testo (capitolo 3, sezione 1) e una nota a piè di pagina che Lehmann scrive

Uno stimatore che soddisfa per tutti sarà chiamato equivariante ... $\delta(X_1+a, \ldots, X_n+a) = \delta(X_1,\ldots,X_n)+a$ $a$

Alcuni autori chiamano tali stimatori "invarianti". Poiché ciò suggerisce che lo stimatore rimane invariato in , sembra preferibile riservare quel termine per funzioni che soddisfano per tutte le . $X_i^\prime = X_i+a$ $u(x+a)=u(x)$ $x,a$

— whuber
fonte

sì, ieri ho contattato l'autore principale del libro con la stessa domanda sull'effettiva definizione di invarianza utilizzata (ho guardato nell'indice e non l'ho trovato esplicito nel libro). Ho votato perché penso che la tua risposta sia quella corretta, ma darò all'autore un paio di giorni per essere sicuro prima di accettarla.

— user603

Non ho ricevuto una risposta dall'autore, ma gli argomenti presentati sopra (nella risposta e nel commento) mi hanno convinto che questa deve essere davvero la corretta interpretazione del problema.

— user603