Come calcolare la funzione di verosimiglianza

La durata di 3 componenti elettronici è e . Le variabili casuali erano state modellate come un campione casuale di dimensione 3 dalla distribuzione esponenziale con parametro . La funzione di probabilità è, per $X_{1} = 3, X_{2} = 1.5,$ $X_{3} = 2.1$ $\theta$ $\theta > 0$

$f_{3}(x|\theta) = \theta^{3} exp(-6.6\theta)$ , dove . $x = (2, 1.5, 2.1)$

E quindi il problema procede a determinare il MLE trovando il valore di che massimizza il . La mia domanda è: come posso determinare la funzione di probabilità? Ho cercato il pdf della distribuzione esponenziale, ma è diverso. Quindi la funzione di verosimiglianza mi viene sempre data in un problema? O devo determinarlo da solo? Se é cosi, come? $\theta$ $log f_{3}(x|\theta)$

distributions maximum-likelihood exponential

— Adrian
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Perché vuoi fare una stima della verosimiglianza con solo 3 osservazioni? La stima che ottieni per sarà di parte e avrà un'enorme quantità di varianza. È HW?

θ

$\theta$

— Zachary Blumenfeld,

Sai qual è la definizione della probabilità?

— Glen_b

La funzione di probabilità di un campione è la densità congiunta delle variabili casuali coinvolte, ma vista come una funzione dei parametri sconosciuti, dato un campione specifico di realizzazioni da queste variabili casuali.

Nel tuo caso, sembra che il presupposto qui sia che la durata di questi componenti elettronici segua ciascuno (ovvero abbia una distribuzione marginale), una distribuzione esponenziale con identico parametro rate , e quindi il PDF marginale è: $\theta$

f_{X_{i}} (x_{i} ∣ θ) = θ e^{- θ x_{i}}, i = 1, 2, 3

$f_{X_i}(x_i\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_i}, \;\; i=1,2,3$

Inoltre, sembra che la vita di ciascun componente sia completamente indipendente dalla vita degli altri. In tal caso, la funzione di densità articolare è il prodotto delle tre densità,

f_{X 1, X 2, X 3} (x_{1}, x_{2}, x_{3} ∣ θ) = θ e^{- θ x_{1}} \cdot θ e^{- θ x_{2}} \cdot θ e^{- θ x_{3}} = θ^{3} \cdot \exp {- θ \sum_{i = 1}^{3} x_{i}}

$f_{X1,X2,X3}(x_1,x_2,x_3\mid \theta) = \theta e^{-\theta x_1} \cdot \theta e^{-\theta x_2}\cdot \theta e^{-\theta x_3} = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

Per trasformarlo nella funzione di probabilità del campione, lo vediamo come una funzione di dato un campione specifico di . $\theta$ $x_i$

L (θ ∣ {x_{1}, x_{2}, x_{3}}) = θ^{3} \cdot \exp {- θ \sum_{i = 1}^{3} x_{i}}

$L(\theta \mid \{x_1,x_2,x_3\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-\theta \sum_{i=1}^3x_i\right\}}$

dove è cambiato solo il lato sinistro, per indicare quella che è considerata la variabile della funzione. Nel tuo caso il campione disponibile sono le tre vite osservate e quindi . Quindi la probabilità è $\{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}$ $\sum_{i=1}^3x_i = 6.6$

L (θ ∣ {x_{1} = 3, x_{2} = 1.5, x_{3} = 2.1}) = θ^{3} \cdot \exp {- 6.6 θ}

$L(\theta \mid \{x_1 = 3, x_2 =1.5, x_3 = 2.1\}) = \theta^3\cdot \exp{\left\{-6.6\theta \right\}}$

In altre parole, nella probabilità che ti sia stato dato, il campione specifico disponibile è già stato inserito in esso. Questo di solito non viene fatto, cioè di solito ci "fermiamo" alla rappresentazione teorica della probabilità per il generale , quindi ricaviamo le condizioni per la sua massimizzazione rispetto a , e quindi inseriamo nelle condizioni di massimizzazione il numerico specifico campione di valori , al fine di ottenere una stima specifica per . $x_i$ $\theta$ $x$ $\theta$

Certamente, guardando la probabilità in questo modo, può chiarire il fatto che ciò che conta qui per l'inferenza (per la specifica ipotesi distributiva), è la somma delle realizzazioni, e non i loro valori individuali: la suddetta probabilità non è "campione" "specifico" ma piuttosto "somma delle realizzazioni specifiche": se ci viene dato un altro campione per il quale la somma dei suoi elementi è di nuovo , otterremo la stessa stima per (questo è essenzialmente ciò che vuol dire che è una statistica "sufficiente" - contiene tutte le informazioni che il campione può fornire inferenza, sotto il presupposto distributivo specifico). $n=3$ $6.6$ $\theta$ $\sum x$

— Alecos Papadopoulos
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