Come trasformare una funzione in una densità di probabilità mantenendo la forma della funzione?

Ho una serie di funzioni, ognuna delle quali rappresenta presumibilmente la densità di una variabile casuale tra agenti. Ogni funzione ha anche un dominio, che descrive quali valori della variabile casuale sono validi.

Ora, se ricordo correttamente le mie classi di statistiche, se prendo l'integrale di una delle funzioni attraverso i valori descritti dal dominio della funzione, dovrei ottenere un valore di 1.0. Questo non succede comunque.

Esiste una tecnica di normalizzazione che può trasformare una funzione in una vera densità di probabilità, mantenendo tuttavia la forma della funzione?

Tutte le funzioni sono nella forma , dove è la variabile casuale e sono costanti variabili. $\frac{a}{bx}+c$ $x$ $a,b,c$

distributions probability

— Graham
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Se hai una funzione integrabile non negativa con dominio tale che $f$ $D$

k = \int_{D} f (x) d x < \infty

$k = \int_{D} f(x) dx < \infty$

Quindi è una densità di probabilità su . Il valore è noto come costante di normalizzazione . $f(x)/k$ $D$ $k$

Modifica: Nel tuo esempio hai detto che per le costanti conosciute . In tal caso, l'integrale indefinito è semplice da calcolare e lo sarebbe la costante normalizzante $f(x) = \frac{a}{bx} + c$ $a,b,c$

k = {[\frac{a \log (x)}{b} + c x]}_{D}

$k = \left[ \frac{a \log(x) }{b} + cx \right]_{D}$

se è un intervallo questo semplifica $D$ $(A,B)$

k = \frac{a}{b} \cdot \log (\frac{B}{A}) + c (B - A)

$k = \frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)$ Pertanto è una densità di probabilità su .

g (x) = \frac{\frac{a}{b x} + c}{\frac{a}{b} \cdot \log (\frac{B}{A}) + c (B - A)}

$g(x) = \frac{\frac{a}{bx} + c}{\frac{a}{b} \cdot \log \left( \frac{B}{A} \right) + c(B-A)}$

(A, B)

$(A,B)$

— macro
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