Come definire una distribuzione tale che le estrazioni siano correlate a un'estrazione di un'altra distribuzione predefinita?

Come definisco la distribuzione di una variabile casuale tale che un'estrazione da abbia una correlazione con , dove è singola da una distribuzione con funzione di distribuzione cumulativa ? $Y$ $Y$ $\rho$ $x_1$ $x_1$ $F_{X}(x)$

— OctaviaQ
fonte

Le seguenti Q sono fortemente correlate e saranno di interesse: come generare numeri casuali correlati (dati dati varianze e grado di correlazione) e generare una variabile casuale con una correlazione definita a una variabile esistente .

— gung - Ripristina Monica

È possibile definirlo in termini di meccanismo di generazione dei dati. Ad esempio, se e $X \sim F_{X}$

Y = ρ X + \sqrt{1 - ρ^{2}} Z

$Y = \rho X + \sqrt{1 - \rho^{2}} Z$

dove ed è indipendente da , quindi, $Z \sim F_{X}$ $X$

c o v (X, Y) = c o v (X, ρ X) = ρ \cdot v a r (X)

${\rm cov}(X,Y) = {\rm cov}(X, \rho X) = \rho \cdot {\rm var}(X)$

Anche notare che dal ha la stessa distribuzione di . Perciò, ${\rm var}(Y) = {\rm var}(X)$ $Z$ $X$

c o r (X, Y) = \frac{c o v (X, Y)}{\sqrt{v a r (X)^{2}}} = ρ

${\rm cor}(X,Y) = \frac{ {\rm cov}(X,Y) }{ \sqrt{ {\rm var}(X)^{2} } } = \rho$

Quindi, se è possibile generare i dati di , è possibile generare una variata, , che ha una correlazione specificato con . Si noti, tuttavia, che la distribuzione marginale di sarà nel caso speciale in cui è la distribuzione normale (o qualche altra distribuzione additiva). Ciò è dovuto al fatto che le somme di variabili normalmente distribuite sono normali; questa non è una proprietà generale delle distribuzioni. Nel caso generale, dovrai calcolare la distribuzione di calcolando la convoluzione (opportunamente ridimensionata) della densità corrispondente a $F_{X}$ $Y$ $(\rho)$ $X$ $Y$ $F_{X}$ $F_{X}$ $Y$ con se stesso. $F_{X}$

— macro
fonte

+1 Risposta molto bella. Nitpick: nell'ultima riga è necessario convolvere versioni in scala di

F_{X}

$F_X$

— whuber

Grazie mille, Macro. Giusto per chiarire qualcosa - intendi nel tuo ultimo paragrafo che avresti bisogno divolgere rho * X con sqrt (1 - rho ^ 2) * X? (mi dispiace, non ho potuto ottenere alcuna formattazione, anche HTML per funzionare in questo particolare commento)

— OctaviaQ

ρ X

$\rho X$

\sqrt{1 - ρ^{2}} X

$\sqrt{1 - \rho^{2}} X$

Tanto tempo ma ... idee su come farlo, imponendo anche la distribuzione marginale di Y?

— Julián Urbano,