Come dovrebbero essere calcolati gli errori standard per le stime del modello di effetti misti?

In particolare, come dovrebbero essere calcolati gli errori standard degli effetti fissi in un modello lineare di effetti misti (in senso frequentista)?

Sono stato portato a credere che le stime tipiche ( ), come quelle presentate in Laird e Ware [1982] daranno a SE quello sono sottostimati in termini di dimensioni perché i componenti di varianza stimati sono trattati come se fossero i valori reali.${\rm Var}(\hat\beta)=(X'VX)^{-1}$

Ho notato che le SE prodotte dalle funzioni lmee summarynel nlmepacchetto per R non sono semplicemente uguali alla radice quadrata delle diagonali della matrice varianza-covarianza data sopra. Come vengono calcolati?

Ho anche l'impressione che i bayesiani utilizzino i priori gamma inversi per la stima dei componenti della varianza. Questi danno gli stessi risultati (nella giusta impostazione) di lme?

Il mio pensiero iniziale era che, per la normale regressione lineare, abbiamo semplicemente inserito la nostra stima della varianza residua, , come se fosse la verità.$\sigma^2$

Tuttavia, dai un'occhiata a McCulloch and Searle (2001), modelli generalizzati, lineari e misti, prima edizione , Sezione 6.4b, "Varianza del campionamento". Indicano che non puoi semplicemente collegare le stime dei componenti di varianza :

Invece di trattare con varianza (matrice) di un vettore consideriamo il caso più semplice dello scalare l ' β per estimable l ' β (cioè, l ' = t ' X per qualche t ' ).$X \hat{\beta}$$l' \hat{\beta}$$l'\beta$$l' = t'X$$t'$

Per noto , abbiamo da (6.21) che var ( l ′ β 0 ) = l ′ ( X ′ V - 1 X ) - l . La sostituzione di questo quando V non è noto è quello di usare l ' ( X ' V - 1 X ) - l , che è una stima di var ( l ' β 0 ) = var [ l $V$$\text{var}(l' \beta^0) = l'(X'V{-1}X)^- l$$V$$l'(X'\hat{V}^{-1}X)^- l$ . Ma ènonuna stima di var ( l ' β ) = var [ l ' ( X ' V - 1 X ) - X ' V - 1 y ] . Quest'ultima impone tenendo conto della variabilità della V così come quella in$\text{var}(l'\beta^0) = \text{var}[l' (X' V^{-1} X)^- X' V^{-1} y]$$\text{var}(l'\hat{\beta}) = \text{var}[l' (X' \hat{V}^{-1} X)^- X' \hat{V}^{-1} y]$$\hat{V}$ . Per far fronte a questo, Kackar e Harville (. 1984, pag 854) osservano che (nel nostro notazione) l ' β - l ' β può essere espresso come la somma di due parti indipendenti, l ' β - l ' β 0 e l ′ β 0 - l ′ β . Questo porta a var ( l ' ß ) essendo espresse come somma di due varianze che si scrive come$y$$l' \hat{\beta} - l' \beta$$l' \hat{\beta} - l' \beta^0$$l'\beta^0 - l' \beta$$\text{var}(l' \hat{\beta})$

$$\text{var}(l'\hat{\beta}) = ... \approx l'(X' V^{-1} X)l + l' T \; l$$

Vanno a spiegare . $T$

Quindi questo risponde alla prima parte della tua domanda e indica che la tua intuizione era corretta (e la mia era sbagliata).