pdf di un prodotto di due variabili casuali Uniform indipendenti

Sia ~ e ~ due variabili casuali indipendenti con le distribuzioni date. Qual è la distribuzione di ?$X$$U(0,2)$$Y$$U(-10,10)$$V=XY$

Ho provato la convoluzione, sapendolo

$$h(v) = \int_{y=-\infty}^{y=+\infty}\frac{1}{y}f_Y(y) f_X\left (\frac{v}{y} \right ) dy$$

Sappiamo anche che , $f_Y(y) = \frac{1}{20}$

$$h(v)= \frac{1}{20} \int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{2}dy$$ $$h(v)=\frac{1}{40}\int_{y=-10}^{y=10} \frac{1}{y}dy$$

Qualcosa mi dice, c'è qualcosa di strano qui dato che è discontinuo a 0. Per favore aiutatemi.

Una risposta eccellente, rigorosa ed elegante è già stata pubblicata. Lo scopo di questo è quello di ottenere lo stesso risultato in un modo che potrebbe essere un po 'più rivelatore della struttura sottostante di . Mostra perché la funzione di densità di probabilità (pdf) deve essere singolare a .$XY$$0$

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Molto può essere realizzato concentrandosi sulle forme delle distribuzioni dei componenti :

• $X$ è due volte una variabile casuale . è una forma standard "piacevole" caratteristica di tutte le distribuzioni uniformi.$U(0,1)$$U(0,1)$

• $|Y|$è dieci volte una variabile casuale.$U(0,1)$

• Il segno di segue una distribuzione di Rademacher: equivale a o , ciascuno con probabilità .$Y$$-1$$1$$1/2$

(Quest'ultimo passaggio converte una variabile non negativa in una distribuzione simmetrica intorno a , entrambe le cui code sembrano la distribuzione originale.)$0$

Pertanto (a) è simmetrico circa e (b) il suo valore assoluto è volte il prodotto di due variabili casuali indipendenti .$XY$$0$$2\times 10=20$$U(0,1)$

I prodotti sono spesso semplificati prendendo logaritmi. In effetti, è ben noto che il registro negativo di una variabile ha una distribuzione esponenziale (perché si tratta del modo più semplice per generare variate esponenziali casuali), da cui il registro negativo del prodotto di due di essi ha la distribuzione della somma di due esponenziali. Exponential è una distribuzione . Le distribuzioni gamma con lo stesso parametro di scala sono facili da aggiungere: basta aggiungere i loro parametri di forma. A più a variate quindi ha una distribuzione . conseguentemente$U(0,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(1,1)$$\Gamma(2,1)$

La variabile casuale è la versione simmetrizzata di volte l'esponenziale del negativo di una variabile .$XY$$20$$\Gamma(2,1)$

La costruzione del PDF di da quella di una distribuzione è mostrata da sinistra a destra, procedendo dall'uniforme, all'esponenziale, al , all'esponenziale del suo negativo , alla stessa cosa ridimensionata di , e infine la versione simmetrizzata di quello. Il suo PDF è infinito a , confermando la discontinuità lì.$XY$$U(0,1)$$\Gamma(2,1)$$20$$0$

Potremmo accontentarci di fermarci qui. Ad esempio, questa caratterizzazione ci dà un modo per generare direttamente realizzazioni di , come in questa espressione:$XY$R

n <- 1; 20 * exp(-rgamma(n, 2, scale=1)) * ifelse(runif(n) < 1/2, -1, 1)

Questa analisi rivela anche perché il pdf esplode a . $0$ Quella singolarità è apparsa per la prima volta quando abbiamo considerato l'esponenziale della distribuzione (negativa di) a , corrispondente alla moltiplicazione di una variabile per un'altra. I valori entro (diciamo) di sorgono in molti modi, incluso (ma non limitato a) quando (a) uno dei fattori è inferiore a o (b) entrambi i fattori sono inferiori a . Quella radice quadrata è enormemente più grande di stessa quando è vicino a$\Gamma(2,1)$$U(0,1)$$\varepsilon$$0$$\varepsilon$$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$\varepsilon$$0$. Questo costringe molta probabilità, in una quantità maggiore di , a essere compresso in un intervallo di lunghezza . Perché ciò sia possibile, la densità del prodotto deve diventare arbitrariamente grande a . Le successive manipolazioni - riscalare di un fattore e simmetrizzare - ovviamente non elimineranno quella singolarità.$\sqrt{\varepsilon}$$\varepsilon$$0$$20$

Questa caratterizzazione descrittiva della risposta porta anche direttamente a formule con un minimo sforzo, dimostrando che è completa e rigorosa. Ad esempio, per ottenere il pdf di , inizia con l'elemento probabilità di una distribuzione ,$XY$$\Gamma(2,1)$

$$f(t)dt = te^{-t}dt,\ 0 \lt t \lt \infty.$$

Lasciare implica e . Questa trasformazione inverte anche l'ordine: valori più grandi di portano a valori più piccoli di . Per questo motivo dobbiamo annullare il risultato dopo la sostituzione, dando$t=-\log(z)$$dt = -d(\log(z)) = -dz/z$$0 \lt z \lt 1$$t$$z$

$$f(t)dt = -\left(-\log(z) e^{-(-\log(z))} (-dz/z)\right) = -\log(z) dz,\ 0 \lt z \lt 1.$$

Il fattore di scala di converte questo in$20$

$$-\log(z/20) d(z/20) = -\frac{1}{20}\log(z/20)dz,\ 0 \lt z \lt 20.$$

Infine, la simmetrizzazione sostituisce$z$$|z|$$-20$$20$$2$$(-20,0)$$(0,20)$

$$\eqalign{ f_{XY}(z)dz &= -\frac{1}{2}\frac{1}{20} \log(|z|/20),\ -20 \lt z\lt 20;\\ f_{XY}(z)dz &= 0\ \text{otherwise}. }$$

$X$$X\sim\mathcal{U}(0,2)$

$$f_X(x) = \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(x)$$ $$h(v)= \frac{1}{20} \int_{-10}^{10} \frac{1}{|y|}\cdot \frac{1}{2}\mathbb{I}_{(0,2)}(v/y)\text{d}y$$ $$\begin{align*} h(v) &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/y\le 2}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \int_{-10}^{0} \frac{1}{|y|} \mathbb{I}_{0\ge v/2\ge y\ge -10}\text{d}y+\frac{1}{40} \int_{0}^{10} \frac{1}{|y|}\mathbb{I}_{0\le v/2\le y\le 10}\text{d}y\\&= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \int_{-10}^{v/2} \frac{1}{|y|}\text{d}y+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{20\ge v\ge 0} \int_{v/2}^{10} \frac{1}{|y|}\text{d}y\\ &= \frac{1}{40} \mathbb{I}_{-20\le v\le 0} \log\{20/|v|\}+\frac{1}{40} \mathbb{I}_{0\le v\le 20} \log\{20/|v|\}\\ &=\frac{\log\{20/|v|\}}{40}\mathbb{I}_{-20\le v\le 20} \end{align*}$$

ottenuto come

   hist(runif(10^6,0,2)*runif(10^6,10,10),prob=TRUE,
   nclass=789,border=FALSE,col="wheat",xlab="",main="")
   curve(log(20/abs(x))/40,add=TRUE,col="sienna2",lwd=2,n=10^4)