Quale converge più veloce, medio o mediano?

Se traggo variabili iid da N (0,1), la media o la mediana convergeranno più velocemente? Quanto più veloce?

Per essere più specifici, lascia che siano una sequenza di variabili iid ricavate da N (0,1). Definisci e per essere la mediana di . Che converge a 0 più velocemente, o ? $x_1, x_2, \ldots$ $\bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$ $\tilde{x}_n$ $\{x_1, x_2, \ldots x_n\}$ $\{\bar{x}_n\}$ $\{\tilde{x}_n\}$

Per concretezza su cosa significhi convergere più velocemente: esiste ? Se è così, che cosa è? $\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$

normal-distribution mean median

— Josh Brown Kramer
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Stai chiedendo informazioni sulla convergenza in probabilità di una stima puntuale rispetto al parametro di popolazione? Oppure stai chiedendo della convergenza nella distribuzione di una variabile casuale?

— Ryan Simmons,

Con "convergere più velocemente a 0" intendi "che ha una varianza asintotica minore" o qualcos'altro?

— Glen_b -Restate Monica

@Glen_b In una certa misura questo è motivato da un vero problema: la mediana è più robusta rispetto ai valori anomali, quindi sembra che la mediana del campione debba convergere più rapidamente della media man mano che la dimensione del campione aumenta. Non so davvero quale sia il modo migliore per esprimere il tasso di convergenza in questa situazione. Per concretezza, potrei chiedere se esiste

lim_{n \to \infty} V a r ({\bar{X}}_{n}) / V a r ({\tilde{X}}_{n})

$\lim_{n \to \infty} Var(\bar{X}_n)/Var(\tilde{X}_n)$ e, in tal caso, di cosa si tratta.

— Josh Brown Kramer,

Se i dati sono veramente campionati da una distribuzione normale, i valori anomali sono estremamente rari - così rari che l'impatto sulla media lascia la media del campione come stima più efficiente della media della popolazione. Ma non hai bisogno di una coda pesante varia per rendere competitiva la mediana. Quel rapporto che menzionerai sarà in effetti circa 0,63

— Glen_b -Restate Monica

La media e la mediana sono le stesse, in questo caso particolare. È noto che la mediana è efficiente al 64% come media, quindi la media è più veloce a convergere. Posso scrivere maggiori dettagli, ma Wikipedia si occupa esattamente della tua domanda.

— Yair Daon
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Hai una citazione?

— Josh Brown Kramer,

Laplace, PSde (1818) Deuxième supplément à the Théorie Analytique des Probabilités , Parigi, Courcier - Laplace fornisce la distribuzione asintotica per media e mediana. Vedi anche la sezione sulla varianza della mediana su Wikipedia

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: (+1) l'ultimo riferimento !!!

— Xi'an,

@Glen_b sì, è stata una risposta epica, ho riso abbastanza forte. Grazie per quello!

— user541686

@ xi'an intendevi scrivere che media e mediana sono della stessa quantità?

— Yair Daon,