La mediana è un tipo di media, per una certa generalizzazione di "media"?

Il concetto di "media" è molto più ampio della media aritmetica tradizionale; si estende fino a includere la mediana? Per analogia,

$$\text{raw data} \overset{\text{id}}{\longrightarrow} \text{raw data} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{raw mean} \overset{\text{id}^{-1}}{\longrightarrow} \text{arithmetic mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{recip}}{\longrightarrow} \text{reciprocals} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean reciprocal} \overset{\text{recip}^{-1}}{\longrightarrow} \text{harmonic mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{log}}{\longrightarrow} \text{logs} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean log} \overset{\text{log}^{-1}}{\longrightarrow} \text{geometric mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{square}}{\longrightarrow} \text{squares} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean square} \overset{\text{square}^{-1}}{\longrightarrow} \text{root mean square} \\ \text{raw data} \overset{\text{rank}}{\longrightarrow} \text{ranks} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean rank} \overset{\text{rank}^{-1}}{\longrightarrow} \text{median}$$

L'analogia che sto disegnando è la media quasi aritmetica , data da:

$$M_f(x_1,\dots,x_n)=f^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i) \right)$$

Per fare un confronto, quando diciamo che la mediana di un set di dati a cinque elementi è uguale al terzo elemento, possiamo vedere che equivale a classificare i dati da uno a cinque (che potremmo indicare con una funzione ); prendendo la media dei dati trasformati (che è tre); e rileggere il valore dell'elemento di dati che aveva rango tre (una sorta di ).$f$$f^{-1}$

Negli esempi di media geometrica, media armonica e RMS, era una funzione fissa che può essere applicata a qualsiasi numero in isolamento. Al contrario, sia per assegnare un grado, sia per tornare indietro dai dati ai dati originali (interpolando ove necessario) è richiesta la conoscenza dell'intero set di dati. Inoltre, nelle definizioni che ho letto della media quasi aritmetica, deve essere continuo. La mediana è mai considerata come un caso speciale di media quasi aritmetica, e in tal caso come viene definita la f ? Oppure la mediana è mai descritta come un'istanza di qualche altra nozione più ampia di "media"? La media quasi aritmetica non è certamente l'unica generalizzazione disponibile.$f$$f$$f$

Parte del problema è terminologica (cosa significa "significato" comunque, specialmente in contrasto con "tendenza centrale" o "media"?). Ad esempio, nella letteratura per i sistemi di controllo fuzzy , una funzione di aggregazione $F:[a,b] \times [a,b] \to [a,b]$ è una funzione crescente con $F(a,a)=a$ e $F(b,b)=b$ ; una funzione di aggregazione per la quale $\min(x,y) \leq F(x,y) \leq \max(x,y)$ per tutte le $x,y \in [a,b]$ è chiamata "media" (in a senso generale). Tale definizione è, inutile dirlo, incredibilmente ampia! E in questo contesto la mediana viene in effetti indicata come un tipo di media. $^{[1]}$Ma sono curioso di sapere se le caratterizzazioni meno ampie della media possono ancora estendersi abbastanza lontano da comprendere la mediana - il cosiddetto mezzo generalizzato (che potrebbe essere meglio descritto come "media del potere") e il significato di Lehmer no, ma altri . Per quello che vale, Wikipedia include "mediana" nella sua lista di "altri mezzi" , ma senza ulteriori commenti o citazioni.

$[1]$ : Una definizione così ampia di media, opportunamente estesa per più di due input, sembra standard nel campo del controllo fuzzy e spuntata più volte durante le ricerche su Internet per esempi della mediana che viene descritta come mediana; Citerò, ad esempio, Fodor, JC e Rudas, IJ (2009), " Su alcune classi di funzioni di aggregazione che sono migratorie ", Conf. IFSA / EUSFLAT. (pagg. 653-656). Per inciso, questo documento rileva che uno dei primi utenti del termine "media" ( moyenne ) era Cauchy , nella Cours d'analyse de l'École royale polytechnique, 1ère partie; Analizzare algébrique (1821). Contributi successivi di Aczél , Chisini ,e de Finetti nello sviluppo di concetti più generali di "media" rispetto a Cauchy sono riconosciuti in Fodor, J. e Roubens, M. (1995), " Sulla significatività dei mezzi ", Journal of Computational and Applied Mathematics , 64 (1), 103-115.

Ecco un modo in cui potresti considerare una mediana come un "tipo generale di media": in primo luogo, definisci attentamente la tua media aritmetica ordinaria in termini di statistiche dell'ordine:

$$\bar{x} = \sum_i w_i x_{(i)},\qquad w_i=\frac{_1}{^n}\,.$$

Quindi sostituendo quella media ordinaria delle statistiche dell'ordine con qualche altra funzione di ponderazione, otteniamo la nozione di "media generalizzata" che tiene conto dell'ordine.

In tal caso, una serie di potenziali misure del centro diventano "tipi generalizzati di mezzi". Nel caso della mediana, per dispari , e tutti gli altri sono 0, e per pari , .w ( n + 1 ) / 2 = 1 n w $n$$w_{(n+1)/2}=1$$n$$w_{\frac{n}{2}}=w_{\frac{n}{2}+1}=\frac{1}{2}$

Allo stesso modo, se consideriamo la stima M, le stime della posizione potrebbero anche essere pensate come una generalizzazione della media aritmetica (dove per la media, è quadratico, è lineare o la funzione del peso è piatta), e la mediana rientra anche in questa classe di generalizzazioni. Questa è una generalizzazione in qualche modo diversa dalla precedente.$\rho$$\psi$

Esistono molti altri modi in cui possiamo estendere la nozione di "media" che potrebbe includere la mediana.

Se si considera la media come il punto che minimizza la funzione di perdita quadratica SSE, allora la mediana è il punto che minimizza la funzione di perdita lineare MAD, e la modalità è il punto che minimizza alcune funzioni di perdita 0-1. Nessuna trasformazione richiesta.

Quindi la mediana è un esempio di una media di Fréchet .

Una generalizzazione facile ma fruttuosa è quella dei mezzi ponderati , dove ∑ n i = 1 w i = 1 . Chiaramente la media comune o da giardino è il caso speciale più semplice con pesi uguali w i = 1 / n .$\sum_{i=1}^n w_i x_i / \sum_{i=1}^n w_i,$$\sum_{i=1}^n w_i = 1$$w_i = 1/n$

Lasciare che i pesi dipendano dall'ordine dei valori in grandezza, dal più piccolo al più grande, indica vari altri casi speciali, in particolare l'idea di una media ritagliata , nota anche con altri nomi.

Per evitare un uso eccessivo della notazione in cui non è necessario o particolarmente utile, immagina ad esempio di ignorare i valori più piccoli e più grandi e di prendere la media (equamente ponderata) degli altri. Oppure immagina di ignorare i due più piccoli e i due più grandi e di prendere la media degli altri; e così via. Il taglio più vigoroso ignorerebbe tutti tranne uno o due valori medi in ordine, a seconda che il numero di valori fosse pari o dispari, che è naturalmente solo la mediana familiare . Nulla nell'idea di tagliare ti impegna a ignorare un numero uguale in ciascuna coda di un campione, ma dire di più sul taglio asimmetrico ci allontanerebbe dall'idea principale in questo thread.

In breve, mezzi (non qualificati) e mediane sono casi estremamente limitanti della famiglia di mezzi (simmetrici) tagliati. L'idea generale è quella di consentire compromessi tra un ideale di utilizzare tutte le informazioni nei dati e un altro ideale di proteggersi da punti di dati estremi, che possono essere valori anomali inaffidabili.

Vedi il riferimento qui per una recensione abbastanza recente.

La domanda ci invita a caratterizzare il concetto di "media" in un senso sufficientemente ampio da comprendere tutti i mezzi usuali - mezzi di potere, mezzi di , mediane, mezzi tagliati - ma non in modo così ampio che diventa quasi inutile per l'analisi dei dati . Questa risposta discute alcune delle proprietà assiomatiche che dovrebbe avere qualsiasi definizione ragionevolmente utile di "media".$L^p$

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Assiomi di base

Una definizione utilmente ampia di "media" ai fini dell'analisi dei dati sarebbe qualsiasi sequenza di funzioni deterministiche ben definite per A ⊂ R e n = 1 , 2 , ... tale che$f_n:A^n\to A$$A\subset\mathbb{R}$$n=1, 2, \ldots$

(1) per tutti x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) ∈ A n (una media si trova tra gli estremi),$\newcommand{\x}{\mathrm{x}} \newcommand{\min}{\text{min}}\min (\x)\le f_n(\x)\le \max(\x)$$\x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\in A^n$

(2) è invariante rispetto alle permutazioni dei suoi argomenti (significa che non importa l'ordine dei dati), e$f_n$

(3) ogni sta diminuendo in ciascuno dei suoi argomenti (quando i numeri aumentano, la loro media non può diminuire).$f_n$

Noi dobbiamo permettere per di essere un sottoinsieme proprio di numeri reali (come ad esempio tutti i numeri positivi), perché un sacco di mezzi, come medie geometriche, sono definiti solo su tali sottoinsiemi.$A$

Potremmo anche volerlo aggiungere

(1 ') esistono almeno alcuni per i quali min ( x ) ≠ f n ( x ) ≠ max ( x ) (i mezzi non sono estremi). (Non possiamo esigere che questo valga sempre . Ad esempio, la mediana di ( 0 , 0 , … , 0 , 1 ) è uguale a 0 , che è il minimo.)$\x\in A$$\min(\x)\ne f_n(\x)\ne \max(\x)$$(0,0,\ldots,0,1)$$0$

Queste proprietà sembrano catturare l'idea alla base di un "cattivo" che è una sorta di "valore medio" di un insieme di dati (non ordinati).

Assiomi di coerenza

Sono inoltre tentato di stabilire il criterio di coerenza piuttosto meno ovvio

(4.a) L'intervallo di come t varia nell'intervallo [ min ( x ) , max ( x ) ] include f n ( x ) . In altre parole, è sempre possibile lasciare invariata la media attigua ad un valore t appropriato$f_{n+1}(t, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$t$$[\min(\x), \max(\x)]$$f_n(\x)$$t$a un set di dati. In congiunzione con (3), implica che l'aggiunta di valori estremi a un set di dati attirerà la media verso quegli estremi.

Se desideriamo applicare il concetto di media a una distribuzione o "popolazione infinita", un modo sarebbe quello di ottenerlo nel limite di campioni casuali arbitrariamente grandi. Naturalmente il limite potrebbe non esistere sempre (non esiste per la media aritmetica quando la distribuzione non ha aspettative, per esempio). Pertanto non voglio imporre alcun assioma aggiuntivo per garantire l'esistenza di tali limiti, ma quanto segue sembra naturale e utile:

(4.b) Ogni volta che è limitato e x n è una sequenza di campioni da una distribuzione F supportata su A , allora il limite di f n ( x n ) esiste quasi sicuramente. Ciò impedisce alla media di "rimbalzare per sempre" all'interno di A anche se le dimensioni del campione diventano sempre più grandi.$A$$\x_n$$F$$A$$f_n(\x_n)$$A$

Sulla stessa linea, potremmo restringere ulteriormente l'idea di un mezzo per insistere sul fatto che diventi uno stimatore migliore della "posizione" all'aumentare delle dimensioni del campione:

(4.c) Ogni volta che è limitato, la varianza della distribuzione campionaria di f n ( X ( n ) ) per un campione casuale X ( n ) = ( X 1 , X 2 , … , X n ) di F è non diminuendo in n .$A$$f_n(X^{(n)})$$X^{(n)} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$$F$$n$

Assioma di continuità

Potremmo prendere in considerazione la possibilità di chiedere modi per variare "bene" con i dati:

(5) è separatamente continuo in ogni argomento (una piccola modifica nei valori dei dati non dovrebbe indurre un balzo improvviso nella loro media).$f_n$

Questo requisito potrebbe eliminare alcune strane generalizzazioni, ma non esclude alcun mezzo noto. Escluderà alcune funzioni di aggregazione.

Un assioma di invarianza

Possiamo concepire i mezzi come applicabili ai dati di intervallo o rapporto (nel senso ben noto di Stevens). Non possiamo pretendere che siano invarianti rispetto a spostamenti di posizione (la media geometrica non lo è), ma siamo in grado di richiedere

(6) per tutti x ∈ A n e tutti λ > 0 per i quali λ x ∈ A n . Questo dice solo che siamo liberi di calcolare f n usando qualsiasi unità di misura che ci piace.$f_n(\lambda \x) = \lambda f_n(\x)$$\x \in A^n$$\lambda \gt 0$$\lambda \x \in A^n$$f_n$

Tutti i mezzi menzionati nella domanda soddisfano questo assioma tranne alcune funzioni di aggregazione.

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Discussione

Le funzioni di aggregazione generale , come descritto nella domanda, non soddisfano necessariamente gli assiomi (1 '), (2), (3), (5) o (6). Se soddisfano gli assiomi di coerenza può dipendere da come vengono estesi a n > 2 .$f_2$$n\gt 2$

La solita mediana del campione gode di tutte queste proprietà assiomatiche.

Potremmo aumentare gli assiomi di coerenza da includere

(4.d) per tutti x ∈ A n$f_{2n}(\x;\x) = f_n(\x)$$\x \in A^n.$

Ciò implica che quando tutti gli elementi di un set di dati vengono ripetuti ugualmente spesso, la media non cambia. Questo potrebbe essere troppo forte, però: la media Winsorized non ha questa proprietà (tranne asintoticamente). Lo scopo di Winsorizing al livello del è di fornire resistenza alle variazioni di almeno il 100 α % dei dati in entrambi i casi estremi. Ad esempio, la media Winsorized al 10% di ( 1 , 2 , 3 , 6 ) è la media aritmetica di ( 2 , 2 , 3 , 3 $100\alpha\%$ $100\alpha\%$$(1,2,3,6)$$(2,2,3,3)$, pari a , ma la media Winsorized del 10% di ( 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 6 , 6 ) è 3,5 .$2.5$$(1,1,2,2,3,3,6,6)$$3.5$

Non so quale degli assiomi di coerenza (4.a), (4.b) o (4.c) sarebbe più desiderabile o utile. Sembrano indipendenti: non credo che due di essi implichino il terzo.

Penso che la mediana possa essere considerata un tipo di generalizzazione della media aritmetica. In particolare, la media aritmetica e la mediana (tra le altre) possono essere unificate come casi speciali della media di Chisini. Se eseguirai un'operazione su un set di valori, la media di Chisini è un numero che puoi sostituire con tutti i valori originali nel set e ottenere comunque lo stesso risultato. Ad esempio, se si desidera sommare i valori, la sostituzione di tutti i valori con la media aritmetica produrrà la stessa somma. L'idea è che un determinato valore sia rappresentativo dei numeri nell'insieme nel contesto di una determinata operazione su tali numeri. (Un'interessante implicazione di questo modo di pensare è che un dato valore - la media aritmetica - può essere considerato rappresentativo solo supponendo che tu stia facendo certe cose con quei numeri.)

Questo è meno ovvio per la mediana (e noto che la mediana non è elencata come uno dei mezzi di Chisini su Wolfram o Wikipedia ), ma se si consentissero operazioni su gradi, la mediana potrebbe rientrare nella stessa idea.

La domanda non è ben definita. Se siamo d'accordo sulla definizione comune di "strada" di media come la somma di n numeri divisi per n, allora abbiamo un interesse nel terreno. Inoltre, se osservassimo le misure di tendenza centrale, potremmo dire che sia la media che la mediana sono generealizzazione ma non l'una dell'altra. Parte del mio background è non parametrico, quindi mi piace la mediana e la robustezza che fornisce, l'invarianza alla trasformazione monotonica e altro ancora. ma ogni misura ha il suo posto a seconda dell'obiettivo.