Distribuzione del massimo di due variabili normali correlate

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Supponiamo che io abbia due variabili casuali normali standard e che sono congiuntamente normali con il coefficiente di correlazione . $X_1$ $X_2$ $r$

Qual è la funzione di distribuzione di ? $\max(X_1, X_2)$

correlation normal-distribution extreme-value

— Vendetta
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Correlati: stats.stackexchange.com/questions/173064/… .

— Testardo:

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Secondo Nadarajah e Kotz, 2008 , distribuzione esatta del massimo / minimo di due variabili casuali gaussiane , il PDF di $X = \max(X_1, X_2)$ sembra essere

f (X) = 2 \cdot φ (X) \cdot Φ (\frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^{2}}} X),

$f(x) = 2 \cdot \phi(x) \cdot \Phi\left( \frac{1 - r}{\sqrt{1 - r^2}} x\right),$

dove $\phi$ è il PDF e $\Phi$ è il CDF della distribuzione normale standard.

$\hskip2in$ inserisci qui la descrizione dell'immagine

— Lucas
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Come sarà se (nessuna correlazione)? Ho problemi a visualizzarlo.

r = 0

$r = 0$

— Mitch,

3

Ho aggiunto una figura che visualizza la distribuzione. Sembra un gaussiano schiacciato leggermente inclinato a destra.

— Lucas,

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Sia il PDF normale bivariato per con marginali standard e correlazione . Il CDF del massimo è, per definizione, $f_\rho$ $(X,Y)$ $\rho$

Pr (max (X, Y) \leq z) = Pr (X \leq z, Y \leq z) = \int_{- \infty}^{z} \int_{- \infty}^{z} f_{ρ} (x, y) d y d x .

$\Pr(\max(X, Y)\le z) = \Pr(X\le z,\ Y\le z) = \int_{-\infty}^z\int_{-\infty}^z f_\rho(x,y)dy dx.$

Il PDF normale bivariato è simmetrico (tramite riflessione) attorno alla diagonale. Pertanto, aumentando da a aggiungono due strisce di probabilità equivalente al quadrato semi-infinito originale: quello superiore infinitesimamente spesso è mentre la sua controparte riflessa, il striscia di destra, è . $z$ $z+dz$ $(-\infty, z]\times (z, z+dz]$ $(z, z+dz]\times (-\infty, z]$

figura

La densità di probabilità della striscia di destra è la densità di a volte la probabilità condizionata totale che sia nella striscia, . La distribuzione condizionale di è sempre normale, quindi per trovare questa probabilità condizionale totale abbiamo solo bisogno della media e della varianza. La media condizionale di in è la previsione di regressione e la varianza condizionale è la varianza "inspiegabile" . $X$ $z$ $Y$ $\Pr(Y\le z\,|\, X=z)$ $Y$ $Y$ $X$ $\rho X$ $\text{var}(Y) - \text{var}(\rho X) = 1-\rho^2$

Ora che conosciamo la media condizionale e la varianza, il CDF condizionale di dato può essere ottenuto standardizzando e applicando il normale CDF : $Y$ $X$ $Y$ $\Phi$

Pr (Y \leq y | X) = Φ (\frac{y - ρ X}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) .

$\Pr(Y \le y\,|\, X) = \Phi\left(\frac{y-\rho X}{\sqrt{1-\rho^2}}\right).$

Valutandolo in e e moltiplicandolo per la densità di in (un PDF normale normale ) si ottiene la densità di probabilità della seconda striscia (a destra) $y=z$ $X=z$ $X$ $z$ $\phi$

φ (z) Φ (\frac{z - ρ z}{\sqrt{1 - ρ^{2}}}) = φ (z) Φ (\frac{1 - ρ}{\sqrt{1 - ρ^{2}}} z) .

$\phi(z)\Phi\left(\frac{z-\rho z}{\sqrt{1-\rho^2}}\right) = \phi(z)\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right).$

Raddoppiando questo si spiega la striscia superiore equi-probabile, dando il PDF del massimo come

\frac{d}{d z} Pr (max (X, Y) \leq z) = 2 φ (z) Φ (\frac{1 - ρ}{\sqrt{1 - ρ^{2}}} z) .

$\frac{d}{dz}\Pr(\max(X,Y)\le z) = \color{blue}{2}\color{black}{\phi(z)}\color{darkred}{\Phi\left(\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z\right)}.$

Ricapitolazione

$\color{blue}2$ $\color{black}{\phi(z)}$ $\color{darkred}{\Phi\left(\cdots\right)}$ $\frac{1-\rho}{\sqrt{1-\rho^2}}z$ $Y=z$ $X=z$

— whuber
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Questo può essere esteso a più di due variabili normali standard con una data matrice di correlazione?

— A. Donda,

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@ A.Donda Sì, ma l'espressione diventa più complicata. Ad ogni nuova dimensione nasce la necessità di integrarsi ancora una volta.

— whuber