Posizionamento delle frecce su un biplot PCA

Sto cercando di implementare un biplot per l'analisi dei componenti principali (PCA) in JavaScript. La mia domanda è: come posso determinare le coordinate delle frecce dall'uscita della decomposizione vettoriale singolare (SVD) della matrice di dati?$U,V,D$

Ecco un esempio di biplot prodotto da R:

biplot(prcomp(iris[,1:4]))

Ho provato a cercarlo nell'articolo di Wikipedia sul biplot ma non è molto utile. O corretto. Non so quale.

Esistono molti modi diversi per produrre un biplot PCA e quindi non esiste una risposta unica alla tua domanda. Ecco una breve panoramica.

Partiamo dal presupposto che la matrice di dati ha n punti di dati in righe ed è centrata (ovvero i mezzi di colonna sono tutti zero). Per ora, non assumiamo che sia stato standardizzato, ovvero consideriamo il PCA sulla matrice di covarianza (non sulla matrice di correlazione). PCA equivale a una scomposizione del valore singolare X = U S V ⊤ , puoi vedere la mia risposta qui per i dettagli: Relazione tra SVD e PCA. Come utilizzare SVD per eseguire PCA?$\mathbf X$$n$

In un biplot PCA, due primi componenti principali vengono tracciati come un diagramma a dispersione, ovvero la prima colonna di viene tracciata contro la sua seconda colonna. Ma la normalizzazione può essere diversa; ad esempio si può usare:$\mathbf U$

1. Colonne di : sono componenti principali ridimensionati in base alla somma unitaria dei quadrati;$\mathbf U$
2. Colonne di : sono componenti principali standardizzati (varianza unitaria);$\sqrt{n-1}\mathbf U$
3. Colonne di : sono componenti principali "grezzi" (proiezioni sulle direzioni principali).$\mathbf{US}$

Inoltre, le variabili originali sono tracciate come frecce; cioè coordinate di un i -esimo freccia endpoint sono nei valore -esimo nella prima e nella seconda colonna di V . Ma ancora una volta, si possono scegliere diverse normalizzazioni, ad esempio:$(x,y)$$i$$i$$\mathbf V$

1. Colonne di : Non so quale potrebbe essere un'interpretazione qui;$\mathbf {VS}$
2. Colonne di : sono caricamenti;$\mathbf {VS}/\sqrt{n-1}$
3. Colonne di : questi sono assi principali (aka direzioni principali, aka autovettori).$\mathbf V$

Ecco come appare tutto ciò per il set di dati Fisher Iris:

$9$$\mathbf X$$\mathbf{US}^\alpha \beta$$\mathbf{VS}^{(1-\alpha)} / \beta$$9$ sono "bipoti propri": vale a dire una combinazione di qualsiasi sottotrama dall'alto con quella direttamente sotto.

[Qualunque combinazione si usi, potrebbe essere necessario ridimensionare le frecce in base a un fattore costante arbitrario in modo che sia le frecce sia i punti dati appaiano approssimativamente sulla stessa scala.]

$\mathbf{VS}/\sqrt{n-1}$$\mathbf U\sqrt{n-1}$

È probabile che questa [scelta particolare] fornisca un aiuto grafico molto utile nell'interpretazione di matrici multivariate di osservazioni, purché ovviamente queste possano essere adeguatamente approssimate al secondo posto.

$\mathbf{US}$$\mathbf{V}$

$\mathbf {US}$

biplot$\mathbf U$$\mathbf{VS}$biplot$0.8$biplot$n/(n-1)$$1$Frecce delle variabili sottostanti nel biplot PCA in R. )

PCA su matrice di correlazione

$\mathbf X$$1$

$1$$R=1$

Ulteriori letture:

• Analisi PCA e corrispondenza nella loro relazione con il biplot - trattamento dettagliato di @ttnphns.
• Qual è la misura di associazione corretta di una variabile con un componente PCA (su un biplot / grafico di caricamento)? - spiegazione geometrica di @ttnphns sul significato delle frecce di caricamento su un biplot.