Come generare dati binari di serie temporali con correlazione automatica casuale?

Come posso generare serie temporali binarie tali che:

1. È specificata la probabilità media di osservare 1 (diciamo 5%);
2. Probabilità condizionale di osservare 1 alla volta dato il valore a (diciamo il 30% se il valore era 1)?$t$$t-1$$t-1$

Utilizzare una catena Markov a due stati.

Se gli stati sono chiamati 0 e 1, la catena può essere rappresentata da una matrice 2x2 che fornisce le probabilità di transizione tra stati, dove è la probabilità di spostarsi dallo stato allo stato . In questa matrice, ogni riga dovrebbe essere 1.0.$P$$P_{ij}$$i$$j$

Dall'istruzione 2, abbiamo e la semplice conservazione quindi dice .$P_{11} = 0.3$$P_{10} = 0.7$

Dall'istruzione 1, si desidera che la probabilità a lungo termine (chiamata anche equilibrio o stato stazionario) sia . Questo dice risoluzione dà e una matrice di transizione$P_1 = 0.05$

(Puoi verificare la correttezza della tua matrice di transizione elevandola a una potenza elevata - in questo caso 14 fa il lavoro - ogni riga del risultato fornisce le stesse identiche probabilità di stato stazionario)

Ora nel tuo programma di numeri casuali, inizia scegliendo casualmente lo stato 0 o 1; questo seleziona quale riga di stai usando. Quindi utilizzare un numero casuale uniforme per determinare lo stato successivo. Sputare quel numero, risciacquare, ripetere se necessario.$P$

Mi sono preso una brutta pausa nel scrivere la risposta di @Mike Anderson in R. Non riuscivo a capire come farlo usando sapply, quindi ho usato un loop. Ho cambiato leggermente i probi per ottenere un risultato più interessante e ho usato 'A' e 'B' per rappresentare gli stati. Fatemi sapere cosa ne pensate.

set.seed(1234)
TransitionMatrix <- data.frame(A=c(0.9,0.7),B=c(0.1,0.3),row.names=c('A','B'))
Series <- c('A',rep(NA,99))
i <- 2
while (i <= length(Series)) {
    Series[i] <- ifelse(TransitionMatrix[Series[i-1],'A']>=runif(1),'A','B')
    i <- i+1
}
Series <- ifelse(Series=='A',1,0)
> Series
  [1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1
 [38] 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
 [75] 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

/ modifica: in risposta al commento di Paul, ecco una formulazione più elegante

set.seed(1234)

createSeries <- function(n, TransitionMatrix){
  stopifnot(is.matrix(TransitionMatrix))
  stopifnot(n>0)

  Series <- c(1,rep(NA,n-1))
  random <- runif(n-1)
  for (i in 2:length(Series)){
    Series[i] <- TransitionMatrix[Series[i-1]+1,1] >= random[i-1]
  }

  return(Series)
}

createSeries(100, matrix(c(0.9,0.7,0.1,0.3), ncol=2))

Ho scritto il codice originale quando stavo solo imparando R, quindi tagliami un po 'di gioco. ;-)

Ecco come valuteresti la matrice di transizione, date le serie:

Series <- createSeries(100000, matrix(c(0.9,0.7,0.1,0.3), ncol=2))
estimateTransMatrix <- function(Series){
  require(quantmod)
  out <- table(Lag(Series), Series)
  return(out/rowSums(out))
}
estimateTransMatrix(Series)

   Series
            0         1
  0 0.1005085 0.8994915
  1 0.2994029 0.7005971

L'ordine viene scambiato rispetto alla mia matrice di transizione originale, ma ottiene le giuste probabilità.

Ecco una risposta basata sul markovchainpacchetto che può essere generalizzato a strutture di dipendenza più complesse.

library(markovchain)
library(dplyr)

# define the states
states_excitation = c("steady", "excited")

# transition probability matrix
tpm_excitation = matrix(
  data = c(0.2, 0.8, 0.2, 0.8), 
  byrow = TRUE, 
  nrow = 2,
  dimnames = list(states_excitation, states_excitation)
)

# markovchain object
mc_excitation = new(
  "markovchain",
  states = states_excitation,
  transitionMatrix = tpm_excitation,
  name = "Excitation Transition Model"
)

# simulate
df_excitation = data_frame(
  datetime = seq.POSIXt(as.POSIXct("01-01-2016 00:00:00", 
                                   format = "%d-%m-%Y %H:%M:%S", 
                                   tz = "UTC"), 
                        as.POSIXct("01-01-2016 23:59:00", 
                                   format = "%d-%m-%Y %H:%M:%S", 
                                   tz = "UTC"), by = "min"),
  excitation = rmarkovchain(n = 1440, mc_excitation))

# plot
df_excitation %>% 
  ggplot(aes(x = datetime, y = as.numeric(factor(excitation)))) + 
  geom_step(stat = "identity") + 
  theme_bw() + 
  scale_y_discrete(name = "State", breaks = c(1, 2), 
                   labels = states_excitation)

Questo ti dà:

Ho perso la traccia del documento in cui è stato descritto questo approccio, ma qui va.

Decomporre la matrice di transizione in

$1-p_t$$p_t$$p_0$

$p_t$$T_{11}$$T_{11} = (1-p_t)+p_t(1-p_0)$

Una delle caratteristiche utili di questa decomposizione è che si generalizza abbastanza facilmente alla classe di modelli di Markov correlati in problemi dimensionali superiori.