Come selezionare la soluzione migliore senza dati eccessivi? Modellazione di una distribuzione bimodale con N funzioni normali, ecc

Ho una distribuzione ovviamente bimodale di valori, che cerco di adattare. I dati possono essere adattati bene con 2 funzioni normali (bimodali) o con 3 funzioni normali. Inoltre, esiste un motivo fisico plausibile per adattare i dati con 3.

Più parametri vengono introdotti, più perfetta sarà la misura, come con abbastanza costanti, si può " adattarsi a un elefante ".

Ecco la distribuzione, adatta alla somma di 3 curve normali (gaussiane):

Questi sono i dati per ogni adattamento. Non sono sicuro di quale test dovrei applicare qui per determinare l'adattamento. I dati sono composti da 91 punti.

1 funzione normale:

• RSS: 1.06231
• X ^ 2: 3.1674
• Test F.: 0,3092

2 funzioni normali:

• RSS: 0.010939
• X ^ 2: 0.053896
• Test F.: 0.97101

3 funzioni normali:

• RSS: 0.00536
• X ^ 2: 0.02794
• Test F.: 0.99249

Qual è il test statistico corretto che può essere applicato per determinare quale di questi 3 attacchi è il migliore? Ovviamente, la normale funzione 1 è inadeguata. Quindi, come posso discriminare tra 2 e 3?

Per aggiungere, lo sto facendo principalmente con Excel e un po 'di Python; Non ho ancora familiarità con R o altri linguaggi statistici.

Ecco due modi in cui potresti affrontare il problema di selezionare la tua distribuzione:

1. Per il confronto tra modelli, utilizzare una misura che penalizzi il modello in base al numero di parametri. I criteri informativi lo fanno. Utilizzare un criterio di informazione per scegliere quale modello conservare, scegliere il modello con il criterio di informazione più basso (ad esempio AIC). La regola empirica per confrontare se una differenza in AIC è significativa è se la differenza in AIC è maggiore di 2 (questo non è un test di ipotesi formale, vedere Test della differenza in AIC di due modelli non nidificati ).

   $2k - 2ln(L)$$k$$L$L ( θ | x ) = P r ( x | θ ) Pr ( x | θ ) x $L = \max\limits_{\theta} L(\theta |x)$$L(\theta |x) = Pr(x|\theta)$$\Pr(x|\theta)$$x$$\theta$

2. Se si desidera un test di ipotesi formale, è possibile procedere in almeno due modi. Probabilmente quello più semplice è quello di adattare le vostre distribuzioni usando parte del vostro campione e di verificare se le distribuzioni dei residui sono significativamente diverse usando un test Chi-quadrato o Kolgomorov-Smirnov sul resto dei dati. In questo modo non si utilizzano gli stessi dati per adattarsi e testare il modello di cui AndrewM ha parlato nei commenti.

   È inoltre possibile eseguire un test del rapporto di verosimiglianza con un adeguamento alla distribuzione nulla. Una versione di questo è descritta in Lo Y. et al. (2013) "Test del numero di componenti nella miscela normale." Biometrika ma non ho accesso all'articolo, quindi non posso fornirti maggiori dettagli su come farlo esattamente.

   In ogni caso, se il test non è significativo, mantieni la distribuzione con il minor numero di parametri, se è significativo scegli quello con il maggior numero di parametri.