Il paradosso di Stein è ancora valido quando si utilizza la norma invece della norma ?

Il paradosso di Stein mostra che quando tre o più parametri vengono stimati contemporaneamente, esistono in media stimatori più precisi (ovvero con errore quadratico medio inferiore previsto) rispetto a qualsiasi metodo che gestisca i parametri separatamente.

Questo è un risultato molto controintuitivo. Lo stesso risultato vale se invece di usare la norma (l'errore quadratico medio atteso), utilizziamo la norma (errore assoluto medio atteso)? $l_2$ $l_1$

paradox steins-phenomenon

— Craig Feinstein
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È stato più difficile di quanto pensassi: ad esempio, Das Gupta e Sinha (1997) stabiliscono un effetto Stein in assoluta perdita di errori.

— Xi'an,

@ Xi'an: questo documento, giusto? stat.purdue.edu/research/technical_reports/pdfs/1997/… A pag. 3 dice che esiste uno stimatore di Stein che è "naturale" per qualsiasi -norm con . E la sua forma non dipende da . Ciò è sorprendente per me: ho sempre pensato che il fenomeno di Stein fosse in qualche modo legato alla geometria della norma .

α

$\alpha$

α \geq 1

$\alpha \geq 1$

α

$\alpha$

ℓ_{2}

$\ell_2$

— Paul,

@Paul: sì, questo è il giornale. Penso che ci sono prove in letteratura che l'effetto Stein ha poco a che fare con la

norma, come avviene in tutti i tipi di impostazioni, incl. quelli non euclidei.

l_{2}

$\mathscr{l}_2$

— Xi'an,

Il paradosso di Stein vale per tutte le funzioni di perdita e, ancor peggio, l'ammissibilità di una particolare funzione di perdita implica probabilmente l'inammissibilità di qualsiasi altra perdita.

Per un trattamento formale vedere la Sezione 8.8 (Stimatori di restringimento) in [1].

[1] van der Vaart, AW Asymptotic Statistics. Cambridge, Regno Unito; New York, New York, Stati Uniti: Cambridge University Press, 1998.

— JohnRos
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La parte di inammissibilità sembra avere senso. Ho sempre pensato che lo stimatore Stein stesse giocando in qualche modo alla funzione di perdita. Scegli una funzione di perdita, scelgo un po 'di restringimento che la disegna un po'.

— Paul,