Una domanda relativa a Borel-Cantelli Lemma

Nota:

Lo dice Borel-Cantelli Lemma

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

Poi,

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

usando Borel-Cantelli Lemma

Voglio dimostrarlo

in primo luogo,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ esiste

e in secondo luogo,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

Ti prego, aiutami a mostrare queste due parti. Grazie.

— B11B
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No, il lemma di Borel-Cantelli non dice (tutti) che, almeno, non senza ulteriori ipotesi.

— cardinale il

@ cardinale bene, come posso mostrare queste due affermazioni? per favore puoi spiegarmelo? non ne ho abbastanza idea. sarò felice se mostrerai un modo solutino :) grazie

— B11b

Aggiunto un "ulteriore presupposto".

— Zen,

Nota minore: come menzionato qui , per esempio, possiamo cavarcela solo con l'indipendenza a coppie della

nella seconda parte del lemma

A_{n}

$A_n$

— jld

Nessuna delle affermazioni è vera.

$A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

$\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

— Alex R.
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